Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2448 / 1329
↖ ↑ ↗
← N 81.770499°
W126.210937°		 ← 349.72 m → N 81.770499°
W126.188965°		 →
↑
349.77 m
↓
↑
349.77 m
↓
N 81.767354°
W126.210937°		 ← 349.85 m →
122 343 m²		 N 81.767354°
W126.188965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.149444580078125 y=0.081146240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.149444580078125 × 214)
    floor (0.149444580078125 × 16384)
    floor (2448.5)     		tx = 2448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.081146240234375 × 214)
    floor (0.081146240234375 × 16384)
    floor (1329.5)     		ty = 1329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2448 / 1329 ti = "14/2448/1329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2448/1329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2448 ÷ 214
    2448 ÷ 16384     		x = 0.1494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1329 ÷ 214
    1329 ÷ 16384     		y = 0.08111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1494140625 × 2 - 1) × π
    -0.701171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.20279641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08111572265625 × 2 - 1) × π
    0.8377685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.63192753673956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20279641} λ = -2.20279641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.63192753673956))-π/2
    2×atan(13.9005378931878)-π/2
    2×1.49898038415099-π/2
    2.99796076830198-1.57079632675     		φ = 1.42716444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20279641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.210937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42716444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.770499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2448 KachelY 1329 -2.20279641 1.42716444 -126.210937 81.770499
    Oben rechts KachelX + 1 2449 KachelY 1329 -2.20241292 1.42716444 -126.188965 81.770499
    Unten links KachelX 2448 KachelY + 1 1330 -2.20279641 1.42710954 -126.210937 81.767354
    Unten rechts KachelX + 1 2449 KachelY + 1 1330 -2.20241292 1.42710954 -126.188965 81.767354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42716444-1.42710954) × R
    5.49000000000799e-05 × 6371000     		dl = 349.767900000509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42716444-1.42710954) × R
    5.49000000000799e-05 × 6371000     		dr = 349.767900000509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20279641--2.20241292) × cos(1.42716444) × R
    0.000383489999999931 × 0.143138538810829 × 6371000     		do = 349.718195041544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20279641--2.20241292) × cos(1.42710954) × R
    0.000383489999999931 × 0.143192873271223 × 6371000     		du = 349.850945798784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42716444)-sin(1.42710954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143138538810829-0.143192873271223)×R²
    abs(-2.20241292--2.20279641)×5.43344603932405e-05×R²
    0.000383489999999931×5.43344603932405e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.43344603932405e-05×40589641000000     		ar = 122343.414678384m²