Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24479 / 25259
↖ ↑ ↗
← S 69.329957°
E 88.934326°		 ← 431.22 m → S 69.329957°
E 88.945313°		 →
↑
431.19 m
↓
↑
431.19 m
↓
S 69.333835°
E 88.934326°		 ← 431.14 m →
185 921 m²		 S 69.333835°
E 88.945313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747055053710938 y=0.770858764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747055053710938 × 215)
    floor (0.747055053710938 × 32768)
    floor (24479.5)     		tx = 24479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770858764648438 × 215)
    floor (0.770858764648438 × 32768)
    floor (25259.5)     		ty = 25259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24479 / 25259 ti = "15/24479/25259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24479/25259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24479 ÷ 215
    24479 ÷ 32768     		x = 0.747039794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25259 ÷ 215
    25259 ÷ 32768     		y = 0.770843505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747039794921875 × 2 - 1) × π
    0.49407958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55219681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770843505859375 × 2 - 1) × π
    -0.54168701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70175993651199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55219681} λ = 1.55219681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70175993651199))-π/2
    2×atan(0.182362295402544)-π/2
    2×0.180380151259198-π/2
    0.360760302518397-1.57079632675     		φ = -1.21003602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55219681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.934326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21003602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.329957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24479 KachelY 25259 1.55219681 -1.21003602 88.934326 -69.329957
    Oben rechts KachelX + 1 24480 KachelY 25259 1.55238856 -1.21003602 88.945313 -69.329957
    Unten links KachelX 24479 KachelY + 1 25260 1.55219681 -1.21010370 88.934326 -69.333835
    Unten rechts KachelX + 1 24480 KachelY + 1 25260 1.55238856 -1.21010370 88.945313 -69.333835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21003602--1.21010370) × R
    6.76799999999034e-05 × 6371000     		dl = 431.189279999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21003602--1.21010370) × R
    6.76799999999034e-05 × 6371000     		dr = 431.189279999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55219681-1.55238856) × cos(-1.21003602) × R
    0.000191749999999935 × 0.352985700101951 × 6371000     		do = 431.221185933126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55219681-1.55238856) × cos(-1.21010370) × R
    0.000191749999999935 × 0.352922375942013 × 6371000     		du = 431.143826653872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21003602)-sin(-1.21010370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352985700101951-0.352922375942013)×R²
    abs(1.55238856-1.55219681)×6.33241599382051e-05×R²
    0.000191749999999935×6.33241599382051e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.33241599382051e-05×40589641000000     		ar = 185921.274508001m²