Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24479 / 25239
↖ ↑ ↗
← S 69.252258°
E 88.934326°		 ← 432.77 m → S 69.252258°
E 88.945313°		 →
↑
432.72 m
↓
↑
432.72 m
↓
S 69.256149°
E 88.934326°		 ← 432.69 m →
187 251 m²		 S 69.256149°
E 88.945313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747055053710938 y=0.770248413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747055053710938 × 215)
    floor (0.747055053710938 × 32768)
    floor (24479.5)     		tx = 24479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770248413085938 × 215)
    floor (0.770248413085938 × 32768)
    floor (25239.5)     		ty = 25239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24479 / 25239 ti = "15/24479/25239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24479/25239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24479 ÷ 215
    24479 ÷ 32768     		x = 0.747039794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25239 ÷ 215
    25239 ÷ 32768     		y = 0.770233154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747039794921875 × 2 - 1) × π
    0.49407958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55219681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770233154296875 × 2 - 1) × π
    -0.54046630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69792498454239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55219681} λ = 1.55219681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69792498454239))-π/2
    2×atan(0.183062988750397)-π/2
    2×0.181058208385116-π/2
    0.362116416770233-1.57079632675     		φ = -1.20867991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55219681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.934326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20867991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.252258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24479 KachelY 25239 1.55219681 -1.20867991 88.934326 -69.252258
    Oben rechts KachelX + 1 24480 KachelY 25239 1.55238856 -1.20867991 88.945313 -69.252258
    Unten links KachelX 24479 KachelY + 1 25240 1.55219681 -1.20874783 88.934326 -69.256149
    Unten rechts KachelX + 1 24480 KachelY + 1 25240 1.55238856 -1.20874783 88.945313 -69.256149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20867991--1.20874783) × R
    6.79199999999991e-05 × 6371000     		dl = 432.718319999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20867991--1.20874783) × R
    6.79199999999991e-05 × 6371000     		dr = 432.718319999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55219681-1.55238856) × cos(-1.20867991) × R
    0.000191749999999935 × 0.354254190595702 × 6371000     		do = 432.770823708544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55219681-1.55238856) × cos(-1.20874783) × R
    0.000191749999999935 × 0.354190674447077 × 6371000     		du = 432.693229888374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20867991)-sin(-1.20874783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354254190595702-0.354190674447077)×R²
    abs(1.55238856-1.55219681)×6.35161486252644e-05×R²
    0.000191749999999935×6.35161486252644e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.35161486252644e-05×40589641000000     		ar = 187251.075718586m²