Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24478 / 25561
↖ ↑ ↗
← S 70.469881°
E 88.923340°		 ← 408.40 m → S 70.469881°
E 88.934326°		 →
↑
408.32 m
↓
↑
408.32 m
↓
S 70.473553°
E 88.923340°		 ← 408.32 m →
166 740 m²		 S 70.473553°
E 88.934326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747024536132812 y=0.780075073242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747024536132812 × 215)
    floor (0.747024536132812 × 32768)
    floor (24478.5)     		tx = 24478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780075073242188 × 215)
    floor (0.780075073242188 × 32768)
    floor (25561.5)     		ty = 25561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24478 / 25561 ti = "15/24478/25561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24478/25561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24478 ÷ 215
    24478 ÷ 32768     		x = 0.74700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25561 ÷ 215
    25561 ÷ 32768     		y = 0.780059814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74700927734375 × 2 - 1) × π
    0.4940185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55200506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780059814453125 × 2 - 1) × π
    -0.56011962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75966771125302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55200506} λ = 1.55200506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75966771125302))-π/2
    2×atan(0.172102041894563)-π/2
    2×0.170432444217858-π/2
    0.340864888435717-1.57079632675     		φ = -1.22993144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55200506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.923340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22993144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.469881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24478 KachelY 25561 1.55200506 -1.22993144 88.923340 -70.469881
    Oben rechts KachelX + 1 24479 KachelY 25561 1.55219681 -1.22993144 88.934326 -70.469881
    Unten links KachelX 24478 KachelY + 1 25562 1.55200506 -1.22999553 88.923340 -70.473553
    Unten rechts KachelX + 1 24479 KachelY + 1 25562 1.55219681 -1.22999553 88.934326 -70.473553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22993144--1.22999553) × R
    6.40899999999611e-05 × 6371000     		dl = 408.317389999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22993144--1.22999553) × R
    6.40899999999611e-05 × 6371000     		dr = 408.317389999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55200506-1.55219681) × cos(-1.22993144) × R
    0.000191750000000157 × 0.334302343371175 × 6371000     		do = 408.396864029539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55200506-1.55219681) × cos(-1.22999553) × R
    0.000191750000000157 × 0.334241940046108 × 6371000     		du = 408.323072956807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22993144)-sin(-1.22999553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334302343371175-0.334241940046108)×R²
    abs(1.55219681-1.55200506)×6.04033250665714e-05×R²
    0.000191750000000157×6.04033250665714e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.04033250665714e-05×40589641000000     		ar = 166740.476572514m²