Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24478 / 25256
↖ ↑ ↗
← S 69.318320°
E 88.923340°		 ← 431.45 m → S 69.318320°
E 88.934326°		 →
↑
431.38 m
↓
↑
431.38 m
↓
S 69.322200°
E 88.923340°		 ← 431.38 m →
186 104 m²		 S 69.322200°
E 88.934326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747024536132812 y=0.770767211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747024536132812 × 215)
    floor (0.747024536132812 × 32768)
    floor (24478.5)     		tx = 24478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770767211914062 × 215)
    floor (0.770767211914062 × 32768)
    floor (25256.5)     		ty = 25256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24478 / 25256 ti = "15/24478/25256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24478/25256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24478 ÷ 215
    24478 ÷ 32768     		x = 0.74700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25256 ÷ 215
    25256 ÷ 32768     		y = 0.770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74700927734375 × 2 - 1) × π
    0.4940185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55200506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770751953125 × 2 - 1) × π
    -0.54150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70118469371655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55200506} λ = 1.55200506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70118469371655))-π/2
    2×atan(0.182467228177152)-π/2
    2×0.180481704824096-π/2
    0.360963409648192-1.57079632675     		φ = -1.20983292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55200506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.923340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20983292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.318320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24478 KachelY 25256 1.55200506 -1.20983292 88.923340 -69.318320
    Oben rechts KachelX + 1 24479 KachelY 25256 1.55219681 -1.20983292 88.934326 -69.318320
    Unten links KachelX 24478 KachelY + 1 25257 1.55200506 -1.20990063 88.923340 -69.322200
    Unten rechts KachelX + 1 24479 KachelY + 1 25257 1.55219681 -1.20990063 88.934326 -69.322200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20983292--1.20990063) × R
    6.77099999999431e-05 × 6371000     		dl = 431.380409999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20983292--1.20990063) × R
    6.77099999999431e-05 × 6371000     		dr = 431.380409999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55200506-1.55219681) × cos(-1.20983292) × R
    0.000191750000000157 × 0.353175719012746 × 6371000     		do = 431.453320493295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55200506-1.55219681) × cos(-1.20990063) × R
    0.000191750000000157 × 0.353112371638325 × 6371000     		du = 431.375932854318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20983292)-sin(-1.20990063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353175719012746-0.353112371638325)×R²
    abs(1.55219681-1.55200506)×6.33473744211521e-05×R²
    0.000191750000000157×6.33473744211521e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.33473744211521e-05×40589641000000     		ar = 186103.818605763m²