Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24477 / 40692
↖ ↑ ↗
← S 39.859155°
W 45.543823°		 ← 468.85 m → S 39.859155°
W 45.538330°		 →
↑
468.84 m
↓
↑
468.84 m
↓
S 39.863371°
W 45.543823°		 ← 468.83 m →
219 812 m²		 S 39.863371°
W 45.538330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373497009277344 y=0.620918273925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373497009277344 × 216)
    floor (0.373497009277344 × 65536)
    floor (24477.5)     		tx = 24477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620918273925781 × 216)
    floor (0.620918273925781 × 65536)
    floor (40692.5)     		ty = 40692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24477 / 40692 ti = "16/24477/40692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24477/40692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24477 ÷ 216
    24477 ÷ 65536     		x = 0.373489379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40692 ÷ 216
    40692 ÷ 65536     		y = 0.62091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373489379882812 × 2 - 1) × π
    -0.253021240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79488967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62091064453125 × 2 - 1) × π
    -0.2418212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.75970398517865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79488967} λ = -0.79488967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75970398517865))-π/2
    2×atan(0.467804883695356)-π/2
    2×0.437561419306196-π/2
    0.875122838612392-1.57079632675     		φ = -0.69567349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79488967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.543823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69567349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.859155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24477 KachelY 40692 -0.79488967 -0.69567349 -45.543823 -39.859155
    Oben rechts KachelX + 1 24478 KachelY 40692 -0.79479380 -0.69567349 -45.538330 -39.859155
    Unten links KachelX 24477 KachelY + 1 40693 -0.79488967 -0.69574708 -45.543823 -39.863371
    Unten rechts KachelX + 1 24478 KachelY + 1 40693 -0.79479380 -0.69574708 -45.538330 -39.863371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69567349--0.69574708) × R
    7.35899999999567e-05 × 6371000     		dl = 468.841889999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69567349--0.69574708) × R
    7.35899999999567e-05 × 6371000     		dr = 468.841889999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79488967--0.79479380) × cos(-0.69567349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.767622234444739 × 6371000     		do = 468.854272778909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79488967--0.79479380) × cos(-0.69574708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.767575068346076 × 6371000     		du = 468.825464302687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69567349)-sin(-0.69574708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767622234444739-0.767575068346076)×R²
    abs(-0.79479380--0.79488967)×4.71660986629541e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71660986629541e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71660986629541e-05×40589641000000     		ar = 219811.770173361m²