Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24477 / 25576
↖ ↑ ↗
← S 70.524897°
E 88.912353°		 ← 407.29 m → S 70.524897°
E 88.923340°		 →
↑
407.23 m
↓
↑
407.23 m
↓
S 70.528560°
E 88.912353°		 ← 407.22 m →
165 848 m²		 S 70.528560°
E 88.923340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746994018554688 y=0.780532836914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746994018554688 × 215)
    floor (0.746994018554688 × 32768)
    floor (24477.5)     		tx = 24477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780532836914062 × 215)
    floor (0.780532836914062 × 32768)
    floor (25576.5)     		ty = 25576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24477 / 25576 ti = "15/24477/25576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24477/25576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24477 ÷ 215
    24477 ÷ 32768     		x = 0.746978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25576 ÷ 215
    25576 ÷ 32768     		y = 0.780517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746978759765625 × 2 - 1) × π
    0.49395751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55181331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.56103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76254392523022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55181331} λ = 1.55181331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76254392523022))-π/2
    2×atan(0.171607750780423)-π/2
    2×0.169952332774346-π/2
    0.339904665548691-1.57079632675     		φ = -1.23089166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55181331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.912353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23089166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.524897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24477 KachelY 25576 1.55181331 -1.23089166 88.912353 -70.524897
    Oben rechts KachelX + 1 24478 KachelY 25576 1.55200506 -1.23089166 88.923340 -70.524897
    Unten links KachelX 24477 KachelY + 1 25577 1.55181331 -1.23095558 88.912353 -70.528560
    Unten rechts KachelX + 1 24478 KachelY + 1 25577 1.55200506 -1.23095558 88.923340 -70.528560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23089166--1.23095558) × R
    6.39200000001061e-05 × 6371000     		dl = 407.234320000676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23089166--1.23095558) × R
    6.39200000001061e-05 × 6371000     		dr = 407.234320000676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55181331-1.55200506) × cos(-1.23089166) × R
    0.000191749999999935 × 0.333397214801624 × 6371000     		do = 407.291123442207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55181331-1.55200506) × cos(-1.23095558) × R
    0.000191749999999935 × 0.333336951210457 × 6371000     		du = 407.217503073891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23089166)-sin(-1.23095558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333397214801624-0.333336951210457)×R²
    abs(1.55200506-1.55181331)×6.02635911671201e-05×R²
    0.000191749999999935×6.02635911671201e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.02635911671201e-05×40589641000000     		ar = 165847.93338328m²