Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24477 / 25257
↖ ↑ ↗
← S 69.322200°
E 88.912353°		 ← 431.38 m → S 69.322200°
E 88.923340°		 →
↑
431.32 m
↓
↑
431.32 m
↓
S 69.326079°
E 88.912353°		 ← 431.30 m →
186 043 m²		 S 69.326079°
E 88.923340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746994018554688 y=0.770797729492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746994018554688 × 215)
    floor (0.746994018554688 × 32768)
    floor (24477.5)     		tx = 24477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770797729492188 × 215)
    floor (0.770797729492188 × 32768)
    floor (25257.5)     		ty = 25257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24477 / 25257 ti = "15/24477/25257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24477/25257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24477 ÷ 215
    24477 ÷ 32768     		x = 0.746978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25257 ÷ 215
    25257 ÷ 32768     		y = 0.770782470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746978759765625 × 2 - 1) × π
    0.49395751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55181331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770782470703125 × 2 - 1) × π
    -0.54156494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70137644131503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55181331} λ = 1.55181331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70137644131503))-π/2
    2×atan(0.182432243878532)-π/2
    2×0.180447847562816-π/2
    0.360895695125632-1.57079632675     		φ = -1.20990063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55181331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.912353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20990063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.322200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24477 KachelY 25257 1.55181331 -1.20990063 88.912353 -69.322200
    Oben rechts KachelX + 1 24478 KachelY 25257 1.55200506 -1.20990063 88.923340 -69.322200
    Unten links KachelX 24477 KachelY + 1 25258 1.55181331 -1.20996833 88.912353 -69.326079
    Unten rechts KachelX + 1 24478 KachelY + 1 25258 1.55200506 -1.20996833 88.923340 -69.326079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20990063--1.20996833) × R
    6.77000000000039e-05 × 6371000     		dl = 431.316700000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20990063--1.20996833) × R
    6.77000000000039e-05 × 6371000     		dr = 431.316700000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55181331-1.55200506) × cos(-1.20990063) × R
    0.000191749999999935 × 0.353112371638325 × 6371000     		do = 431.375932853818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55181331-1.55200506) × cos(-1.20996833) × R
    0.000191749999999935 × 0.353049032001057 × 6371000     		du = 431.298554666852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20990063)-sin(-1.20996833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353112371638325-0.353049032001057)×R²
    abs(1.55200506-1.55181331)×6.33396372675676e-05×R²
    0.000191749999999935×6.33396372675676e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.33396372675676e-05×40589641000000     		ar = 186042.95663693m²