Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24476 / 25251
↖ ↑ ↗
← S 69.298911°
E 88.901367°		 ← 431.82 m → S 69.298911°
E 88.912353°		 →
↑
431.83 m
↓
↑
431.83 m
↓
S 69.302794°
E 88.901367°		 ← 431.74 m →
186 454 m²		 S 69.302794°
E 88.912353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746963500976562 y=0.770614624023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746963500976562 × 215)
    floor (0.746963500976562 × 32768)
    floor (24476.5)     		tx = 24476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770614624023438 × 215)
    floor (0.770614624023438 × 32768)
    floor (25251.5)     		ty = 25251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24476 / 25251 ti = "15/24476/25251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24476/25251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24476 ÷ 215
    24476 ÷ 32768     		x = 0.7469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25251 ÷ 215
    25251 ÷ 32768     		y = 0.770599365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7469482421875 × 2 - 1) × π
    0.493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55162157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770599365234375 × 2 - 1) × π
    -0.54119873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70022595572415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55162157} λ = 1.55162157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70022595572415))-π/2
    2×atan(0.18264225032796)-π/2
    2×0.180651082262577-π/2
    0.361302164525154-1.57079632675     		φ = -1.20949416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55162157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.901367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20949416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.298911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24476 KachelY 25251 1.55162157 -1.20949416 88.901367 -69.298911
    Oben rechts KachelX + 1 24477 KachelY 25251 1.55181331 -1.20949416 88.912353 -69.298911
    Unten links KachelX 24476 KachelY + 1 25252 1.55162157 -1.20956194 88.901367 -69.302794
    Unten rechts KachelX + 1 24477 KachelY + 1 25252 1.55181331 -1.20956194 88.912353 -69.302794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20949416--1.20956194) × R
    6.77799999999618e-05 × 6371000     		dl = 431.826379999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20949416--1.20956194) × R
    6.77799999999618e-05 × 6371000     		dr = 431.826379999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55162157-1.55181331) × cos(-1.20949416) × R
    0.000191739999999996 × 0.353492628033112 × 6371000     		do = 431.817947975559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55162157-1.55181331) × cos(-1.20956194) × R
    0.000191739999999996 × 0.353429223280258 × 6371000     		du = 431.740494280352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20949416)-sin(-1.20956194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353492628033112-0.353429223280258)×R²
    abs(1.55181331-1.55162157)×6.34047528542125e-05×R²
    0.000191739999999996×6.34047528542125e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.34047528542125e-05×40589641000000     		ar = 186453.658090117m²