Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24475 / 25549
↖ ↑ ↗
← S 70.425759°
E 88.890381°		 ← 409.28 m → S 70.425759°
E 88.901367°		 →
↑
409.27 m
↓
↑
409.27 m
↓
S 70.429440°
E 88.890381°		 ← 409.21 m →
167 494 m²		 S 70.429440°
E 88.901367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746932983398438 y=0.779708862304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746932983398438 × 215)
    floor (0.746932983398438 × 32768)
    floor (24475.5)     		tx = 24475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779708862304688 × 215)
    floor (0.779708862304688 × 32768)
    floor (25549.5)     		ty = 25549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24475 / 25549 ti = "15/24475/25549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24475/25549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24475 ÷ 215
    24475 ÷ 32768     		x = 0.746917724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25549 ÷ 215
    25549 ÷ 32768     		y = 0.779693603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746917724609375 × 2 - 1) × π
    0.49383544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55142982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779693603515625 × 2 - 1) × π
    -0.55938720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75736674007126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55142982} λ = 1.55142982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75736674007126))-π/2
    2×atan(0.172498499677332)-π/2
    2×0.170817471542396-π/2
    0.341634943084792-1.57079632675     		φ = -1.22916138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55142982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.890381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22916138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.425759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24475 KachelY 25549 1.55142982 -1.22916138 88.890381 -70.425759
    Oben rechts KachelX + 1 24476 KachelY 25549 1.55162157 -1.22916138 88.901367 -70.425759
    Unten links KachelX 24475 KachelY + 1 25550 1.55142982 -1.22922562 88.890381 -70.429440
    Unten rechts KachelX + 1 24476 KachelY + 1 25550 1.55162157 -1.22922562 88.901367 -70.429440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22916138--1.22922562) × R
    6.42399999999377e-05 × 6371000     		dl = 409.273039999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22916138--1.22922562) × R
    6.42399999999377e-05 × 6371000     		dr = 409.273039999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55142982-1.55162157) × cos(-1.22916138) × R
    0.000191749999999935 × 0.335027999459001 × 6371000     		do = 409.283353987955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55142982-1.55162157) × cos(-1.22922562) × R
    0.000191749999999935 × 0.334967471314773 × 6371000     		du = 409.209410431238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22916138)-sin(-1.22922562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335027999459001-0.334967471314773)×R²
    abs(1.55162157-1.55142982)×6.05281442272454e-05×R²
    0.000191749999999935×6.05281442272454e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.05281442272454e-05×40589641000000     		ar = 167493.511013237m²