Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24474 / 25279
↖ ↑ ↗
← S 69.407379°
E 88.879394°		 ← 429.68 m → S 69.407379°
E 88.890381°		 →
↑
429.66 m
↓
↑
429.66 m
↓
S 69.411243°
E 88.879394°		 ← 429.60 m →
184 598 m²		 S 69.411243°
E 88.890381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746902465820312 y=0.771469116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746902465820312 × 215)
    floor (0.746902465820312 × 32768)
    floor (24474.5)     		tx = 24474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771469116210938 × 215)
    floor (0.771469116210938 × 32768)
    floor (25279.5)     		ty = 25279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24474 / 25279 ti = "15/24474/25279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24474/25279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24474 ÷ 215
    24474 ÷ 32768     		x = 0.74688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25279 ÷ 215
    25279 ÷ 32768     		y = 0.771453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74688720703125 × 2 - 1) × π
    0.4937744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55123807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.54290771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7055948884816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55123807} λ = 1.55123807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7055948884816))-π/2
    2×atan(0.181664284034107)-π/2
    2×0.179704522703401-π/2
    0.359409045406801-1.57079632675     		φ = -1.21138728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55123807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.879394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21138728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.407379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24474 KachelY 25279 1.55123807 -1.21138728 88.879394 -69.407379
    Oben rechts KachelX + 1 24475 KachelY 25279 1.55142982 -1.21138728 88.890381 -69.407379
    Unten links KachelX 24474 KachelY + 1 25280 1.55123807 -1.21145472 88.879394 -69.411243
    Unten rechts KachelX + 1 24475 KachelY + 1 25280 1.55142982 -1.21145472 88.890381 -69.411243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21138728--1.21145472) × R
    6.74400000000297e-05 × 6371000     		dl = 429.660240000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21138728--1.21145472) × R
    6.74400000000297e-05 × 6371000     		dr = 429.660240000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55123807-1.55142982) × cos(-1.21138728) × R
    0.000191750000000157 × 0.351721100568078 × 6371000     		do = 429.676301507513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55123807-1.55142982) × cos(-1.21145472) × R
    0.000191750000000157 × 0.351657968858022 × 6371000     		du = 429.599177332589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21138728)-sin(-1.21145472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351721100568078-0.351657968858022)×R²
    abs(1.55142982-1.55123807)×6.31317100565076e-05×R²
    0.000191750000000157×6.31317100565076e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.31317100565076e-05×40589641000000     		ar = 184598.25430191m²