Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24472 / 40616
↖ ↑ ↗
← S 39.537940°
W 45.571289°		 ← 471.09 m → S 39.537940°
W 45.565796°		 →
↑
471.01 m
↓
↑
471.01 m
↓
S 39.542176°
W 45.571289°		 ← 471.06 m →
221 881 m²		 S 39.542176°
W 45.565796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373420715332031 y=0.619758605957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373420715332031 × 216)
    floor (0.373420715332031 × 65536)
    floor (24472.5)     		tx = 24472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619758605957031 × 216)
    floor (0.619758605957031 × 65536)
    floor (40616.5)     		ty = 40616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24472 / 40616 ti = "16/24472/40616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24472/40616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24472 ÷ 216
    24472 ÷ 65536     		x = 0.3734130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40616 ÷ 216
    40616 ÷ 65536     		y = 0.6197509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3734130859375 × 2 - 1) × π
    -0.253173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79536904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6197509765625 × 2 - 1) × π
    -0.239501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.752417576436401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79536904} λ = -0.79536904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752417576436401))-π/2
    2×atan(0.471225949796702)-π/2
    2×0.440364549401514-π/2
    0.880729098803028-1.57079632675     		φ = -0.69006723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79536904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.571289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69006723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.537940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24472 KachelY 40616 -0.79536904 -0.69006723 -45.571289 -39.537940
    Oben rechts KachelX + 1 24473 KachelY 40616 -0.79527316 -0.69006723 -45.565796 -39.537940
    Unten links KachelX 24472 KachelY + 1 40617 -0.79536904 -0.69014116 -45.571289 -39.542176
    Unten rechts KachelX + 1 24473 KachelY + 1 40617 -0.79527316 -0.69014116 -45.565796 -39.542176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69006723--0.69014116) × R
    7.39299999999998e-05 × 6371000     		dl = 471.008029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69006723--0.69014116) × R
    7.39299999999998e-05 × 6371000     		dr = 471.008029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79536904--0.79527316) × cos(-0.69006723) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.771203218859411 × 6371000     		do = 471.090627620726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79536904--0.79527316) × cos(-0.69014116) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.771156153724782 × 6371000     		du = 471.061877813582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69006723)-sin(-0.69014116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771203218859411-0.771156153724782)×R²
    abs(-0.79527316--0.79536904)×4.70651346287099e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.70651346287099e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.70651346287099e-05×40589641000000     		ar = 221880.697873288m²