Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24472 / 25566
↖ ↑ ↗
← S 70.488236°
E 88.857422°		 ← 408.01 m → S 70.488236°
E 88.868408°		 →
↑
408 m
↓
↑
408 m
↓
S 70.491905°
E 88.857422°		 ← 407.93 m →
166 451 m²		 S 70.491905°
E 88.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746841430664062 y=0.780227661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746841430664062 × 215)
    floor (0.746841430664062 × 32768)
    floor (24472.5)     		tx = 24472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780227661132812 × 215)
    floor (0.780227661132812 × 32768)
    floor (25566.5)     		ty = 25566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24472 / 25566 ti = "15/24472/25566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24472/25566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24472 ÷ 215
    24472 ÷ 32768     		x = 0.746826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25566 ÷ 215
    25566 ÷ 32768     		y = 0.78021240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746826171875 × 2 - 1) × π
    0.49365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55085458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78021240234375 × 2 - 1) × π
    -0.5604248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76062644924542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55085458} λ = 1.55085458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76062644924542))-π/2
    2×atan(0.171937120199409)-π/2
    2×0.17027226242035-π/2
    0.3405445248407-1.57079632675     		φ = -1.23025180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55085458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23025180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.488236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24472 KachelY 25566 1.55085458 -1.23025180 88.857422 -70.488236
    Oben rechts KachelX + 1 24473 KachelY 25566 1.55104632 -1.23025180 88.868408 -70.488236
    Unten links KachelX 24472 KachelY + 1 25567 1.55085458 -1.23031584 88.857422 -70.491905
    Unten rechts KachelX + 1 24473 KachelY + 1 25567 1.55104632 -1.23031584 88.868408 -70.491905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23025180--1.23031584) × R
    6.4040000000043e-05 × 6371000     		dl = 407.998840000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23025180--1.23031584) × R
    6.4040000000043e-05 × 6371000     		dr = 407.998840000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55085458-1.55104632) × cos(-1.23025180) × R
    0.000191739999999996 × 0.334000397850807 × 6371000     		do = 408.006716364805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55085458-1.55104632) × cos(-1.23031584) × R
    0.000191739999999996 × 0.333940034795323 × 6371000     		du = 407.932978332707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23025180)-sin(-1.23031584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334000397850807-0.333940034795323)×R²
    abs(1.55104632-1.55085458)×6.03630554834034e-05×R²
    0.000191739999999996×6.03630554834034e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.03630554834034e-05×40589641000000     		ar = 166451.224529542m²