Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24472 / 25280
↖ ↑ ↗
← S 69.411243°
E 88.857422°		 ← 429.58 m → S 69.411243°
E 88.868408°		 →
↑
429.53 m
↓
↑
429.53 m
↓
S 69.415105°
E 88.857422°		 ← 429.50 m →
184 501 m²		 S 69.415105°
E 88.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746841430664062 y=0.771499633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746841430664062 × 215)
    floor (0.746841430664062 × 32768)
    floor (24472.5)     		tx = 24472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771499633789062 × 215)
    floor (0.771499633789062 × 32768)
    floor (25280.5)     		ty = 25280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24472 / 25280 ti = "15/24472/25280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24472/25280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24472 ÷ 215
    24472 ÷ 32768     		x = 0.746826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25280 ÷ 215
    25280 ÷ 32768     		y = 0.771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746826171875 × 2 - 1) × π
    0.49365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55085458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771484375 × 2 - 1) × π
    -0.54296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70578663608008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55085458} λ = 1.55085458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70578663608008))-π/2
    2×atan(0.181629453683338)-π/2
    2×0.179670804891561-π/2
    0.359341609783121-1.57079632675     		φ = -1.21145472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55085458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21145472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.411243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24472 KachelY 25280 1.55085458 -1.21145472 88.857422 -69.411243
    Oben rechts KachelX + 1 24473 KachelY 25280 1.55104632 -1.21145472 88.868408 -69.411243
    Unten links KachelX 24472 KachelY + 1 25281 1.55085458 -1.21152214 88.857422 -69.415105
    Unten rechts KachelX + 1 24473 KachelY + 1 25281 1.55104632 -1.21152214 88.868408 -69.415105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21145472--1.21152214) × R
    6.74199999999292e-05 × 6371000     		dl = 429.532819999549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21145472--1.21152214) × R
    6.74199999999292e-05 × 6371000     		dr = 429.532819999549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55085458-1.55104632) × cos(-1.21145472) × R
    0.000191739999999996 × 0.351657968858022 × 6371000     		do = 429.576773203031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55085458-1.55104632) × cos(-1.21152214) × R
    0.000191739999999996 × 0.351594854271616 × 6371000     		du = 429.499673968061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21145472)-sin(-1.21152214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351657968858022-0.351594854271616)×R²
    abs(1.55104632-1.55085458)×6.3114586405455e-05×R²
    0.000191739999999996×6.3114586405455e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.3114586405455e-05×40589641000000     		ar = 184500.764544554m²