Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24471 / 25278
↖ ↑ ↗
← S 69.403514°
E 88.846436°		 ← 429.75 m → S 69.403514°
E 88.857422°		 →
↑
429.72 m
↓
↑
429.72 m
↓
S 69.407379°
E 88.846436°		 ← 429.68 m →
184 659 m²		 S 69.407379°
E 88.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746810913085938 y=0.771438598632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746810913085938 × 215)
    floor (0.746810913085938 × 32768)
    floor (24471.5)     		tx = 24471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771438598632812 × 215)
    floor (0.771438598632812 × 32768)
    floor (25278.5)     		ty = 25278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24471 / 25278 ti = "15/24471/25278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24471/25278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24471 ÷ 215
    24471 ÷ 32768     		x = 0.746795654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25278 ÷ 215
    25278 ÷ 32768     		y = 0.77142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746795654296875 × 2 - 1) × π
    0.49359130859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55066283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77142333984375 × 2 - 1) × π
    -0.5428466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70540314088312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55066283} λ = 1.55066283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70540314088312))-π/2
    2×atan(0.181699121064151)-π/2
    2×0.179738246567991-π/2
    0.359476493135983-1.57079632675     		φ = -1.21131983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55066283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.846436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21131983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.403514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24471 KachelY 25278 1.55066283 -1.21131983 88.846436 -69.403514
    Oben rechts KachelX + 1 24472 KachelY 25278 1.55085458 -1.21131983 88.857422 -69.403514
    Unten links KachelX 24471 KachelY + 1 25279 1.55066283 -1.21138728 88.846436 -69.407379
    Unten rechts KachelX + 1 24472 KachelY + 1 25279 1.55085458 -1.21138728 88.857422 -69.407379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21131983--1.21138728) × R
    6.74499999999689e-05 × 6371000     		dl = 429.723949999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21131983--1.21138728) × R
    6.74499999999689e-05 × 6371000     		dr = 429.723949999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55066283-1.55085458) × cos(-1.21131983) × R
    0.000191749999999935 × 0.351784240039264 × 6371000     		do = 429.753435163241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55066283-1.55085458) × cos(-1.21138728) × R
    0.000191749999999935 × 0.351721100568078 × 6371000     		du = 429.676301507016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21131983)-sin(-1.21138728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351784240039264-0.351721100568078)×R²
    abs(1.55085458-1.55066283)×6.31394711859135e-05×R²
    0.000191749999999935×6.31394711859135e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.31394711859135e-05×40589641000000     		ar = 184658.770664827m²