Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24470 / 40718
↖ ↑ ↗
← S 39.968701°
W 45.582276°		 ← 468.15 m → S 39.968701°
W 45.576782°		 →
↑
468.08 m
↓
↑
468.08 m
↓
S 39.972911°
W 45.582276°		 ← 468.12 m →
219 125 m²		 S 39.972911°
W 45.576782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373390197753906 y=0.621315002441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373390197753906 × 216)
    floor (0.373390197753906 × 65536)
    floor (24470.5)     		tx = 24470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621315002441406 × 216)
    floor (0.621315002441406 × 65536)
    floor (40718.5)     		ty = 40718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24470 / 40718 ti = "16/24470/40718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24470/40718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24470 ÷ 216
    24470 ÷ 65536     		x = 0.373382568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40718 ÷ 216
    40718 ÷ 65536     		y = 0.621307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373382568359375 × 2 - 1) × π
    -0.25323486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79556079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.24261474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.762196703958893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79556079} λ = -0.79556079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762196703958893))-π/2
    2×atan(0.46664022985659)-π/2
    2×0.436605450534241-π/2
    0.873210901068482-1.57079632675     		φ = -0.69758543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79556079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.582276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69758543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.968701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24470 KachelY 40718 -0.79556079 -0.69758543 -45.582276 -39.968701
    Oben rechts KachelX + 1 24471 KachelY 40718 -0.79546491 -0.69758543 -45.576782 -39.968701
    Unten links KachelX 24470 KachelY + 1 40719 -0.79556079 -0.69765890 -45.582276 -39.972911
    Unten rechts KachelX + 1 24471 KachelY + 1 40719 -0.79546491 -0.69765890 -45.576782 -39.972911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69758543--0.69765890) × R
    7.34700000000199e-05 × 6371000     		dl = 468.077370000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69758543--0.69765890) × R
    7.34700000000199e-05 × 6371000     		dr = 468.077370000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79556079--0.79546491) × cos(-0.69758543) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.766395464903488 × 6371000     		do = 468.153804001819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79556079--0.79546491) × cos(-0.69765890) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.766348267981274 × 6371000     		du = 468.124973692033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69758543)-sin(-0.69765890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766395464903488-0.766348267981274)×R²
    abs(-0.79546491--0.79556079)×4.7196922214221e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.7196922214221e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.7196922214221e-05×40589641000000     		ar = 219125.454023375m²