Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24467 / 25557
↖ ↑ ↗
← S 70.455184°
E 88.802490°		 ← 408.69 m → S 70.455184°
E 88.813477°		 →
↑
408.64 m
↓
↑
408.64 m
↓
S 70.458859°
E 88.802490°		 ← 408.62 m →
166 991 m²		 S 70.458859°
E 88.813477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746688842773438 y=0.779953002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746688842773438 × 215)
    floor (0.746688842773438 × 32768)
    floor (24467.5)     		tx = 24467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779953002929688 × 215)
    floor (0.779953002929688 × 32768)
    floor (25557.5)     		ty = 25557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24467 / 25557 ti = "15/24467/25557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24467/25557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24467 ÷ 215
    24467 ÷ 32768     		x = 0.746673583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25557 ÷ 215
    25557 ÷ 32768     		y = 0.779937744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746673583984375 × 2 - 1) × π
    0.49334716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54989584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779937744140625 × 2 - 1) × π
    -0.55987548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7589007208591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54989584} λ = 1.54989584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7589007208591))-π/2
    2×atan(0.172234093142016)-π/2
    2×0.170560693907908-π/2
    0.341121387815817-1.57079632675     		φ = -1.22967494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54989584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.802490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22967494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.455184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24467 KachelY 25557 1.54989584 -1.22967494 88.802490 -70.455184
    Oben rechts KachelX + 1 24468 KachelY 25557 1.55008759 -1.22967494 88.813477 -70.455184
    Unten links KachelX 24467 KachelY + 1 25558 1.54989584 -1.22973908 88.802490 -70.458859
    Unten rechts KachelX + 1 24468 KachelY + 1 25558 1.55008759 -1.22973908 88.813477 -70.458859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22967494--1.22973908) × R
    6.41400000001013e-05 × 6371000     		dl = 408.635940000646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22967494--1.22973908) × R
    6.41400000001013e-05 × 6371000     		dr = 408.635940000646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54989584-1.55008759) × cos(-1.22967494) × R
    0.000191749999999935 × 0.334544074870615 × 6371000     		do = 408.692172716744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54989584-1.55008759) × cos(-1.22973908) × R
    0.000191749999999935 × 0.334483629922586 × 6371000     		du = 408.618330795767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22967494)-sin(-1.22973908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334544074870615-0.334483629922586)×R²
    abs(1.55008759-1.54989584)×6.0444948029148e-05×R²
    0.000191749999999935×6.0444948029148e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.0444948029148e-05×40589641000000     		ar = 166991.22299478m²