Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24466 / 25558
↖ ↑ ↗
← S 70.458859°
E 88.791504°		 ← 408.62 m → S 70.458859°
E 88.802490°		 →
↑
408.57 m
↓
↑
408.57 m
↓
S 70.462534°
E 88.791504°		 ← 408.54 m →
166 935 m²		 S 70.462534°
E 88.802490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746658325195312 y=0.779983520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746658325195312 × 215)
    floor (0.746658325195312 × 32768)
    floor (24466.5)     		tx = 24466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779983520507812 × 215)
    floor (0.779983520507812 × 32768)
    floor (25558.5)     		ty = 25558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24466 / 25558 ti = "15/24466/25558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24466/25558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24466 ÷ 215
    24466 ÷ 32768     		x = 0.74664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25558 ÷ 215
    25558 ÷ 32768     		y = 0.77996826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74664306640625 × 2 - 1) × π
    0.4932861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.54970409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77996826171875 × 2 - 1) × π
    -0.5599365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75909246845758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54970409} λ = 1.54970409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75909246845758))-π/2
    2×atan(0.172201070834355)-π/2
    2×0.170528622794065-π/2
    0.341057245588131-1.57079632675     		φ = -1.22973908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54970409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.791504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22973908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.458859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24466 KachelY 25558 1.54970409 -1.22973908 88.791504 -70.458859
    Oben rechts KachelX + 1 24467 KachelY 25558 1.54989584 -1.22973908 88.802490 -70.458859
    Unten links KachelX 24466 KachelY + 1 25559 1.54970409 -1.22980321 88.791504 -70.462534
    Unten rechts KachelX + 1 24467 KachelY + 1 25559 1.54989584 -1.22980321 88.802490 -70.462534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22973908--1.22980321) × R
    6.41299999999401e-05 × 6371000     		dl = 408.572229999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22973908--1.22980321) × R
    6.41299999999401e-05 × 6371000     		dr = 408.572229999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54970409-1.54989584) × cos(-1.22973908) × R
    0.000191749999999935 × 0.334483629922586 × 6371000     		do = 408.618330795767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54970409-1.54989584) × cos(-1.22980321) × R
    0.000191749999999935 × 0.334423193022742 × 6371000     		du = 408.544498706769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22973908)-sin(-1.22980321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334483629922586-0.334423193022742)×R²
    abs(1.54989584-1.54970409)×6.04368998443072e-05×R²
    0.000191749999999935×6.04368998443072e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.04368998443072e-05×40589641000000     		ar = 166935.019819037m²