Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24464 / 25392
↖ ↑ ↗
← S 69.839622°
E 88.769531°		 ← 421.01 m → S 69.839622°
E 88.780517°		 →
↑
421 m
↓
↑
421 m
↓
S 69.843408°
E 88.769531°		 ← 420.94 m →
177 230 m²		 S 69.843408°
E 88.780517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746597290039062 y=0.774917602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746597290039062 × 215)
    floor (0.746597290039062 × 32768)
    floor (24464.5)     		tx = 24464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774917602539062 × 215)
    floor (0.774917602539062 × 32768)
    floor (25392.5)     		ty = 25392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24464 / 25392 ti = "15/24464/25392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24464/25392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24464 ÷ 215
    24464 ÷ 32768     		x = 0.74658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25392 ÷ 215
    25392 ÷ 32768     		y = 0.77490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74658203125 × 2 - 1) × π
    0.4931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54932060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77490234375 × 2 - 1) × π
    -0.5498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72726236710986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54932060} λ = 1.54932060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72726236710986))-π/2
    2×atan(0.177770414549045)-π/2
    2×0.175932487799534-π/2
    0.351864975599068-1.57079632675     		φ = -1.21893135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54932060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21893135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.839622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24464 KachelY 25392 1.54932060 -1.21893135 88.769531 -69.839622
    Oben rechts KachelX + 1 24465 KachelY 25392 1.54951234 -1.21893135 88.780517 -69.839622
    Unten links KachelX 24464 KachelY + 1 25393 1.54932060 -1.21899743 88.769531 -69.843408
    Unten rechts KachelX + 1 24465 KachelY + 1 25393 1.54951234 -1.21899743 88.780517 -69.843408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21893135--1.21899743) × R
    6.60799999998574e-05 × 6371000     		dl = 420.995679999091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21893135--1.21899743) × R
    6.60799999998574e-05 × 6371000     		dr = 420.995679999091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54932060-1.54951234) × cos(-1.21893135) × R
    0.000191739999999996 × 0.344649118428257 × 6371000     		do = 421.014932954513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54932060-1.54951234) × cos(-1.21899743) × R
    0.000191739999999996 × 0.344587086292822 × 6371000     		du = 420.939156015172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21893135)-sin(-1.21899743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344649118428257-0.344587086292822)×R²
    abs(1.54951234-1.54932060)×6.20321354345976e-05×R²
    0.000191739999999996×6.20321354345976e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.20321354345976e-05×40589641000000     		ar = 177229.517171382m²