Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24462 / 25391
↖ ↑ ↗
← S 69.835835°
E 88.747559°		 ← 421.11 m → S 69.835835°
E 88.758545°		 →
↑
421.06 m
↓
↑
421.06 m
↓
S 69.839622°
E 88.747559°		 ← 421.04 m →
177 297 m²		 S 69.839622°
E 88.758545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746536254882812 y=0.774887084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746536254882812 × 215)
    floor (0.746536254882812 × 32768)
    floor (24462.5)     		tx = 24462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774887084960938 × 215)
    floor (0.774887084960938 × 32768)
    floor (25391.5)     		ty = 25391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24462 / 25391 ti = "15/24462/25391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24462/25391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24462 ÷ 215
    24462 ÷ 32768     		x = 0.74652099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25391 ÷ 215
    25391 ÷ 32768     		y = 0.774871826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74652099609375 × 2 - 1) × π
    0.4930419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54893710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774871826171875 × 2 - 1) × π
    -0.54974365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72707061951138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54893710} λ = 1.54893710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72707061951138))-π/2
    2×atan(0.177804504867379)-π/2
    2×0.175965533593815-π/2
    0.35193106718763-1.57079632675     		φ = -1.21886526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54893710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.747559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21886526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.835835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24462 KachelY 25391 1.54893710 -1.21886526 88.747559 -69.835835
    Oben rechts KachelX + 1 24463 KachelY 25391 1.54912885 -1.21886526 88.758545 -69.835835
    Unten links KachelX 24462 KachelY + 1 25392 1.54893710 -1.21893135 88.747559 -69.839622
    Unten rechts KachelX + 1 24463 KachelY + 1 25392 1.54912885 -1.21893135 88.758545 -69.839622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21886526--1.21893135) × R
    6.60900000000186e-05 × 6371000     		dl = 421.059390000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21886526--1.21893135) × R
    6.60900000000186e-05 × 6371000     		dr = 421.059390000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54893710-1.54912885) × cos(-1.21886526) × R
    0.000191749999999935 × 0.344711158445847 × 6371000     		do = 421.112681070272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54893710-1.54912885) × cos(-1.21893135) × R
    0.000191749999999935 × 0.344649118428257 × 6371000     		du = 421.036890549714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21886526)-sin(-1.21893135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344711158445847-0.344649118428257)×R²
    abs(1.54912885-1.54893710)×6.20400175895819e-05×R²
    0.000191749999999935×6.20400175895819e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.20400175895819e-05×40589641000000     		ar = 177297.492522063m²