Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24461 / 25571
↖ ↑ ↗
← S 70.506575°
E 88.736572°		 ← 407.66 m → S 70.506575°
E 88.747559°		 →
↑
407.62 m
↓
↑
407.62 m
↓
S 70.510241°
E 88.736572°		 ← 407.59 m →
166 154 m²		 S 70.510241°
E 88.747559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746505737304688 y=0.780380249023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746505737304688 × 215)
    floor (0.746505737304688 × 32768)
    floor (24461.5)     		tx = 24461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780380249023438 × 215)
    floor (0.780380249023438 × 32768)
    floor (25571.5)     		ty = 25571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24461 / 25571 ti = "15/24461/25571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24461/25571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24461 ÷ 215
    24461 ÷ 32768     		x = 0.746490478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25571 ÷ 215
    25571 ÷ 32768     		y = 0.780364990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746490478515625 × 2 - 1) × π
    0.49298095703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.54874535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780364990234375 × 2 - 1) × π
    -0.56072998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76158518723782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54874535} λ = 1.54874535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76158518723782))-π/2
    2×atan(0.171772356545178)-π/2
    2×0.170112225310616-π/2
    0.340224450621233-1.57079632675     		φ = -1.23057188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54874535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.736572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23057188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.506575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24461 KachelY 25571 1.54874535 -1.23057188 88.736572 -70.506575
    Oben rechts KachelX + 1 24462 KachelY 25571 1.54893710 -1.23057188 88.747559 -70.506575
    Unten links KachelX 24461 KachelY + 1 25572 1.54874535 -1.23063586 88.736572 -70.510241
    Unten rechts KachelX + 1 24462 KachelY + 1 25572 1.54893710 -1.23063586 88.747559 -70.510241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23057188--1.23063586) × R
    6.39799999999635e-05 × 6371000     		dl = 407.616579999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23057188--1.23063586) × R
    6.39799999999635e-05 × 6371000     		dr = 407.616579999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54874535-1.54893710) × cos(-1.23057188) × R
    0.000191750000000157 × 0.333698682002156 × 6371000     		do = 407.659407607436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54874535-1.54893710) × cos(-1.23063586) × R
    0.000191750000000157 × 0.333638368666138 × 6371000     		du = 407.585726468858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23057188)-sin(-1.23063586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333698682002156-0.333638368666138)×R²
    abs(1.54893710-1.54874535)×6.03133360179142e-05×R²
    0.000191750000000157×6.03133360179142e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.03133360179142e-05×40589641000000     		ar = 166153.716763731m²