Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24460 / 40726
↖ ↑ ↗
← S 40.002372°
W 45.637207°		 ← 467.87 m → S 40.002372°
W 45.631714°		 →
↑
467.89 m
↓
↑
467.89 m
↓
S 40.006580°
W 45.637207°		 ← 467.85 m →
218 905 m²		 S 40.006580°
W 45.631714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373237609863281 y=0.621437072753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373237609863281 × 216)
    floor (0.373237609863281 × 65536)
    floor (24460.5)     		tx = 24460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621437072753906 × 216)
    floor (0.621437072753906 × 65536)
    floor (40726.5)     		ty = 40726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24460 / 40726 ti = "16/24460/40726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24460/40726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24460 ÷ 216
    24460 ÷ 65536     		x = 0.37322998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40726 ÷ 216
    40726 ÷ 65536     		y = 0.621429443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37322998046875 × 2 - 1) × π
    -0.2535400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79651952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621429443359375 × 2 - 1) × π
    -0.24285888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.762963694352814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79651952} λ = -0.79651952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762963694352814))-π/2
    2×atan(0.466282458504007)-π/2
    2×0.436311613961589-π/2
    0.872623227923179-1.57079632675     		φ = -0.69817310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79651952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.637207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69817310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.002372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24460 KachelY 40726 -0.79651952 -0.69817310 -45.637207 -40.002372
    Oben rechts KachelX + 1 24461 KachelY 40726 -0.79642365 -0.69817310 -45.631714 -40.002372
    Unten links KachelX 24460 KachelY + 1 40727 -0.79651952 -0.69824654 -45.637207 -40.006580
    Unten rechts KachelX + 1 24461 KachelY + 1 40727 -0.79642365 -0.69824654 -45.631714 -40.006580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69817310--0.69824654) × R
    7.34399999999802e-05 × 6371000     		dl = 467.886239999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69817310--0.69824654) × R
    7.34399999999802e-05 × 6371000     		dr = 467.886239999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79651952--0.79642365) × cos(-0.69817310) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766017831568257 × 6371000     		do = 467.874323123801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79651952--0.79642365) × cos(-0.69824654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.765970620851503 × 6371000     		du = 467.845487395395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69817310)-sin(-0.69824654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766017831568257-0.765970620851503)×R²
    abs(-0.79642365--0.79651952)×4.72107167545088e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72107167545088e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72107167545088e-05×40589641000000     		ar = 218905.212016986m²