Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24460 / 25556
↖ ↑ ↗
← S 70.451509°
E 88.725586°		 ← 408.74 m → S 70.451509°
E 88.736572°		 →
↑
408.70 m
↓
↑
408.70 m
↓
S 70.455184°
E 88.725586°		 ← 408.67 m →
167 039 m²		 S 70.455184°
E 88.736572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746475219726562 y=0.779922485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746475219726562 × 215)
    floor (0.746475219726562 × 32768)
    floor (24460.5)     		tx = 24460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779922485351562 × 215)
    floor (0.779922485351562 × 32768)
    floor (25556.5)     		ty = 25556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24460 / 25556 ti = "15/24460/25556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24460/25556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24460 ÷ 215
    24460 ÷ 32768     		x = 0.7464599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25556 ÷ 215
    25556 ÷ 32768     		y = 0.7799072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7464599609375 × 2 - 1) × π
    0.492919921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54855361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.559814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75870897326062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54855361} λ = 1.54855361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75870897326062))-π/2
    2×atan(0.172267121782232)-π/2
    2×0.170592770817497-π/2
    0.341185541634994-1.57079632675     		φ = -1.22961079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54855361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.725586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22961079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.451509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24460 KachelY 25556 1.54855361 -1.22961079 88.725586 -70.451509
    Oben rechts KachelX + 1 24461 KachelY 25556 1.54874535 -1.22961079 88.736572 -70.451509
    Unten links KachelX 24460 KachelY + 1 25557 1.54855361 -1.22967494 88.725586 -70.455184
    Unten rechts KachelX + 1 24461 KachelY + 1 25557 1.54874535 -1.22967494 88.736572 -70.455184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22961079--1.22967494) × R
    6.41500000000406e-05 × 6371000     		dl = 408.699650000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22961079--1.22967494) × R
    6.41500000000406e-05 × 6371000     		dr = 408.699650000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54855361-1.54874535) × cos(-1.22961079) × R
    0.000191739999999996 × 0.334604527865937 × 6371000     		do = 408.744706814268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54855361-1.54874535) × cos(-1.22967494) × R
    0.000191739999999996 × 0.334544074870615 × 6371000     		du = 408.670858913863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22961079)-sin(-1.22967494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334604527865937-0.334544074870615)×R²
    abs(1.54874535-1.54855361)×6.0452995321425e-05×R²
    0.000191739999999996×6.0452995321425e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.0452995321425e-05×40589641000000     		ar = 167038.727865985m²