Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24456 / 25595
↖ ↑ ↗
← S 70.594371°
E 88.681640°		 ← 405.89 m → S 70.594371°
E 88.692627°		 →
↑
405.83 m
↓
↑
405.83 m
↓
S 70.598021°
E 88.681640°		 ← 405.82 m →
164 710 m²		 S 70.598021°
E 88.692627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746353149414062 y=0.781112670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746353149414062 × 215)
    floor (0.746353149414062 × 32768)
    floor (24456.5)     		tx = 24456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781112670898438 × 215)
    floor (0.781112670898438 × 32768)
    floor (25595.5)     		ty = 25595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24456 / 25595 ti = "15/24456/25595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24456/25595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24456 ÷ 215
    24456 ÷ 32768     		x = 0.746337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25595 ÷ 215
    25595 ÷ 32768     		y = 0.781097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746337890625 × 2 - 1) × π
    0.49267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.54778661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781097412109375 × 2 - 1) × π
    -0.56219482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76618712960135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54778661} λ = 1.54778661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76618712960135))-π/2
    2×atan(0.170983686160401)-π/2
    2×0.169346057632275-π/2
    0.33869211526455-1.57079632675     		φ = -1.23210421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54778661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.681640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23210421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.594371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24456 KachelY 25595 1.54778661 -1.23210421 88.681640 -70.594371
    Oben rechts KachelX + 1 24457 KachelY 25595 1.54797836 -1.23210421 88.692627 -70.594371
    Unten links KachelX 24456 KachelY + 1 25596 1.54778661 -1.23216791 88.681640 -70.598021
    Unten rechts KachelX + 1 24457 KachelY + 1 25596 1.54797836 -1.23216791 88.692627 -70.598021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23210421--1.23216791) × R
    6.37000000001109e-05 × 6371000     		dl = 405.832700000706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23210421--1.23216791) × R
    6.37000000001109e-05 × 6371000     		dr = 405.832700000706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54778661-1.54797836) × cos(-1.23210421) × R
    0.000191750000000157 × 0.332253794274215 × 6371000     		do = 405.894276047138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54778661-1.54797836) × cos(-1.23216791) × R
    0.000191750000000157 × 0.33219371239581 × 6371000     		du = 405.820877666266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23210421)-sin(-1.23216791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332253794274215-0.33219371239581)×R²
    abs(1.54797836-1.54778661)×6.00818784046719e-05×R²
    0.000191750000000157×6.00818784046719e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.00818784046719e-05×40589641000000     		ar = 164710.276286917m²