Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24455 / 25603
↖ ↑ ↗
← S 70.623552°
E 88.670654°		 ← 405.29 m → S 70.623552°
E 88.681640°		 →
↑
405.26 m
↓
↑
405.26 m
↓
S 70.627196°
E 88.670654°		 ← 405.21 m →
164 231 m²		 S 70.627196°
E 88.681640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746322631835938 y=0.781356811523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746322631835938 × 215)
    floor (0.746322631835938 × 32768)
    floor (24455.5)     		tx = 24455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781356811523438 × 215)
    floor (0.781356811523438 × 32768)
    floor (25603.5)     		ty = 25603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24455 / 25603 ti = "15/24455/25603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24455/25603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24455 ÷ 215
    24455 ÷ 32768     		x = 0.746307373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25603 ÷ 215
    25603 ÷ 32768     		y = 0.781341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746307373046875 × 2 - 1) × π
    0.49261474609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54759487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781341552734375 × 2 - 1) × π
    -0.56268310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76772111038919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54759487} λ = 1.54759487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76772111038919))-π/2
    2×atan(0.170721601538576)-π/2
    2×0.16909140643945-π/2
    0.3381828128789-1.57079632675     		φ = -1.23261351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54759487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.670654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23261351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.623552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24455 KachelY 25603 1.54759487 -1.23261351 88.670654 -70.623552
    Oben rechts KachelX + 1 24456 KachelY 25603 1.54778661 -1.23261351 88.681640 -70.623552
    Unten links KachelX 24455 KachelY + 1 25604 1.54759487 -1.23267712 88.670654 -70.627196
    Unten rechts KachelX + 1 24456 KachelY + 1 25604 1.54778661 -1.23267712 88.681640 -70.627196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23261351--1.23267712) × R
    6.36099999999917e-05 × 6371000     		dl = 405.259309999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23261351--1.23267712) × R
    6.36099999999917e-05 × 6371000     		dr = 405.259309999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54759487-1.54778661) × cos(-1.23261351) × R
    0.000191739999999996 × 0.331773384526086 × 6371000     		do = 405.286251360072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54759487-1.54778661) × cos(-1.23267712) × R
    0.000191739999999996 × 0.331713376781556 × 6371000     		du = 405.212947367143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23261351)-sin(-1.23267712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331773384526086-0.331713376781556)×R²
    abs(1.54778661-1.54759487)×6.00077445301883e-05×R²
    0.000191739999999996×6.00077445301883e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.00077445301883e-05×40589641000000     		ar = 164231.173070915m²