Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24451 / 25396
↖ ↑ ↗
← S 69.854762°
E 88.626709°		 ← 420.71 m → S 69.854762°
E 88.637695°		 →
↑
420.68 m
↓
↑
420.68 m
↓
S 69.858546°
E 88.626709°		 ← 420.64 m →
176 968 m²		 S 69.858546°
E 88.637695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746200561523438 y=0.775039672851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746200561523438 × 215)
    floor (0.746200561523438 × 32768)
    floor (24451.5)     		tx = 24451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775039672851562 × 215)
    floor (0.775039672851562 × 32768)
    floor (25396.5)     		ty = 25396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24451 / 25396 ti = "15/24451/25396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24451/25396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24451 ÷ 215
    24451 ÷ 32768     		x = 0.746185302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25396 ÷ 215
    25396 ÷ 32768     		y = 0.7750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746185302734375 × 2 - 1) × π
    0.49237060546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54682788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.550048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72802935750378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54682788} λ = 1.54682788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72802935750378))-π/2
    2×atan(0.177634118624276)-π/2
    2×0.175800364090067-π/2
    0.351600728180134-1.57079632675     		φ = -1.21919560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54682788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.626709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21919560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.854762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24451 KachelY 25396 1.54682788 -1.21919560 88.626709 -69.854762
    Oben rechts KachelX + 1 24452 KachelY 25396 1.54701962 -1.21919560 88.637695 -69.854762
    Unten links KachelX 24451 KachelY + 1 25397 1.54682788 -1.21926163 88.626709 -69.858546
    Unten rechts KachelX + 1 24452 KachelY + 1 25397 1.54701962 -1.21926163 88.637695 -69.858546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21919560--1.21926163) × R
    6.60300000001612e-05 × 6371000     		dl = 420.677130001027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21919560--1.21926163) × R
    6.60300000001612e-05 × 6371000     		dr = 420.677130001027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54682788-1.54701962) × cos(-1.21919560) × R
    0.000191739999999996 × 0.344401046577212 × 6371000     		do = 420.711894449113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54682788-1.54701962) × cos(-1.21926163) × R
    0.000191739999999996 × 0.344339055368614 × 6371000     		du = 420.636167504995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21919560)-sin(-1.21926163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344401046577212-0.344339055368614)×R²
    abs(1.54701962-1.54682788)×6.19912085976781e-05×R²
    0.000191739999999996×6.19912085976781e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.19912085976781e-05×40589641000000     		ar = 176967.944082138m²