Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24448 / 29568
↖ ↑ ↗
← N 17.308688°
W 45.703125°		 ← 583.13 m → N 17.308688°
W 45.697632°		 →
↑
583.14 m
↓
↑
583.14 m
↓
N 17.303443°
W 45.703125°		 ← 583.15 m →
340 049 m²		 N 17.303443°
W 45.697632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373054504394531 y=0.451179504394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373054504394531 × 216)
    floor (0.373054504394531 × 65536)
    floor (24448.5)     		tx = 24448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451179504394531 × 216)
    floor (0.451179504394531 × 65536)
    floor (29568.5)     		ty = 29568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24448 / 29568 ti = "16/24448/29568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24448/29568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24448 ÷ 216
    24448 ÷ 65536     		x = 0.373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29568 ÷ 216
    29568 ÷ 65536     		y = 0.451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373046875 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.451171875 × 2 - 1) × π
    0.09765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.306796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79767001} λ = -0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306796157568359))-π/2
    2×atan(1.35906390494319)-π/2
    2×0.936444959805361-π/2
    1.87288991961072-1.57079632675     		φ = 0.30209359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30209359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.308688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24448 KachelY 29568 -0.79767001 0.30209359 -45.703125 17.308688
    Oben rechts KachelX + 1 24449 KachelY 29568 -0.79757414 0.30209359 -45.697632 17.308688
    Unten links KachelX 24448 KachelY + 1 29569 -0.79767001 0.30200206 -45.703125 17.303443
    Unten rechts KachelX + 1 24449 KachelY + 1 29569 -0.79757414 0.30200206 -45.697632 17.303443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30209359-0.30200206) × R
    9.15300000000063e-05 × 6371000     		dl = 583.13763000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30209359-0.30200206) × R
    9.15300000000063e-05 × 6371000     		dr = 583.13763000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79767001--0.79757414) × cos(0.30209359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954715697752077 × 6371000     		do = 583.128672013973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79767001--0.79757414) × cos(0.30200206) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.954742925725551 × 6371000     		du = 583.145302527172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30209359)-sin(0.30200206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954715697752077-0.954742925725551)×R²
    abs(-0.79757414--0.79767001)×2.72279734738756e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72279734738756e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72279734738756e-05×40589641000000     		ar = 340049.12095961m²