Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24446 / 25334
↖ ↑ ↗
← S 69.618860°
E 88.571777°		 ← 425.45 m → S 69.618860°
E 88.582764°		 →
↑
425.39 m
↓
↑
425.39 m
↓
S 69.622685°
E 88.571777°		 ← 425.38 m →
180 968 m²		 S 69.622685°
E 88.582764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746047973632812 y=0.773147583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746047973632812 × 215)
    floor (0.746047973632812 × 32768)
    floor (24446.5)     		tx = 24446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773147583007812 × 215)
    floor (0.773147583007812 × 32768)
    floor (25334.5)     		ty = 25334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24446 / 25334 ti = "15/24446/25334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24446/25334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24446 ÷ 215
    24446 ÷ 32768     		x = 0.74603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25334 ÷ 215
    25334 ÷ 32768     		y = 0.77313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74603271484375 × 2 - 1) × π
    0.4920654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54586914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77313232421875 × 2 - 1) × π
    -0.5462646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71614100639801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54586914} λ = 1.54586914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71614100639801))-π/2
    2×atan(0.179758498058814)-π/2
    2×0.177859005544336-π/2
    0.355718011088672-1.57079632675     		φ = -1.21507832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54586914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.571777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21507832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.618860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24446 KachelY 25334 1.54586914 -1.21507832 88.571777 -69.618860
    Oben rechts KachelX + 1 24447 KachelY 25334 1.54606089 -1.21507832 88.582764 -69.618860
    Unten links KachelX 24446 KachelY + 1 25335 1.54586914 -1.21514509 88.571777 -69.622685
    Unten rechts KachelX + 1 24447 KachelY + 1 25335 1.54606089 -1.21514509 88.582764 -69.622685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21507832--1.21514509) × R
    6.67700000001048e-05 × 6371000     		dl = 425.391670000668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21507832--1.21514509) × R
    6.67700000001048e-05 × 6371000     		dr = 425.391670000668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54586914-1.54606089) × cos(-1.21507832) × R
    0.000191749999999935 × 0.348263512130842 × 6371000     		do = 425.452375761743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54586914-1.54606089) × cos(-1.21514509) × R
    0.000191749999999935 × 0.348200921378585 × 6371000     		du = 425.375912442099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21507832)-sin(-1.21514509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348263512130842-0.348200921378585)×R²
    abs(1.54606089-1.54586914)×6.25907522567859e-05×R²
    0.000191749999999935×6.25907522567859e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.25907522567859e-05×40589641000000     		ar = 180967.633268659m²