Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24445 / 40596
↖ ↑ ↗
← S 39.453161°
W 45.719604°		 ← 471.62 m → S 39.453161°
W 45.714111°		 →
↑
471.65 m
↓
↑
471.65 m
↓
S 39.457403°
W 45.719604°		 ← 471.59 m →
222 429 m²		 S 39.457403°
W 45.714111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373008728027344 y=0.619453430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373008728027344 × 216)
    floor (0.373008728027344 × 65536)
    floor (24445.5)     		tx = 24445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619453430175781 × 216)
    floor (0.619453430175781 × 65536)
    floor (40596.5)     		ty = 40596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24445 / 40596 ti = "16/24445/40596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24445/40596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24445 ÷ 216
    24445 ÷ 65536     		x = 0.373001098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40596 ÷ 216
    40596 ÷ 65536     		y = 0.61944580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373001098632812 × 2 - 1) × π
    -0.253997802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79795763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61944580078125 × 2 - 1) × π
    -0.2388916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.750500100451599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79795763} λ = -0.79795763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.750500100451599))-π/2
    2×atan(0.472130381074369)-π/2
    2×0.441104382403365-π/2
    0.88220876480673-1.57079632675     		φ = -0.68858756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79795763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.719604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68858756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.453161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24445 KachelY 40596 -0.79795763 -0.68858756 -45.719604 -39.453161
    Oben rechts KachelX + 1 24446 KachelY 40596 -0.79786176 -0.68858756 -45.714111 -39.453161
    Unten links KachelX 24445 KachelY + 1 40597 -0.79795763 -0.68866159 -45.719604 -39.457403
    Unten rechts KachelX + 1 24446 KachelY + 1 40597 -0.79786176 -0.68866159 -45.714111 -39.457403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68858756--0.68866159) × R
    7.40300000000582e-05 × 6371000     		dl = 471.645130000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68858756--0.68866159) × R
    7.40300000000582e-05 × 6371000     		dr = 471.645130000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79795763--0.79786176) × cos(-0.68858756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.772144315963161 × 6371000     		do = 471.616304865304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79795763--0.79786176) × cos(-0.68866159) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.772097271690482 × 6371000     		du = 471.587570798903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68858756)-sin(-0.68866159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772144315963161-0.772097271690482)×R²
    abs(-0.79786176--0.79795763)×4.70442726792086e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70442726792086e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70442726792086e-05×40589641000000     		ar = 222428.757379051m²