Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24443 / 25320
↖ ↑ ↗
← S 69.565226°
E 88.538819°		 ← 426.50 m → S 69.565226°
E 88.549804°		 →
↑
426.47 m
↓
↑
426.47 m
↓
S 69.569061°
E 88.538819°		 ← 426.43 m →
181 876 m²		 S 69.569061°
E 88.549804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745956420898438 y=0.772720336914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745956420898438 × 215)
    floor (0.745956420898438 × 32768)
    floor (24443.5)     		tx = 24443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772720336914062 × 215)
    floor (0.772720336914062 × 32768)
    floor (25320.5)     		ty = 25320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24443 / 25320 ti = "15/24443/25320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24443/25320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24443 ÷ 215
    24443 ÷ 32768     		x = 0.745941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25320 ÷ 215
    25320 ÷ 32768     		y = 0.772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745941162109375 × 2 - 1) × π
    0.49188232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54529390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772705078125 × 2 - 1) × π
    -0.54541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71345654001929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54529390} λ = 1.54529390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71345654001929))-π/2
    2×atan(0.180241701985312)-π/2
    2×0.178327044968669-π/2
    0.356654089937337-1.57079632675     		φ = -1.21414224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54529390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.538819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21414224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.565226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24443 KachelY 25320 1.54529390 -1.21414224 88.538819 -69.565226
    Oben rechts KachelX + 1 24444 KachelY 25320 1.54548564 -1.21414224 88.549804 -69.565226
    Unten links KachelX 24443 KachelY + 1 25321 1.54529390 -1.21420918 88.538819 -69.569061
    Unten rechts KachelX + 1 24444 KachelY + 1 25321 1.54548564 -1.21420918 88.549804 -69.569061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21414224--1.21420918) × R
    6.69400000001819e-05 × 6371000     		dl = 426.474740001159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21414224--1.21420918) × R
    6.69400000001819e-05 × 6371000     		dr = 426.474740001159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54529390-1.54548564) × cos(-1.21414224) × R
    0.000191739999999996 × 0.349140837699934 × 6371000     		do = 426.50190734934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54529390-1.54548564) × cos(-1.21420918) × R
    0.000191739999999996 × 0.349078109434416 × 6371000     		du = 426.425280034516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21414224)-sin(-1.21420918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349140837699934-0.349078109434416)×R²
    abs(1.54548564-1.54529390)×6.27282655183414e-05×R²
    0.000191739999999996×6.27282655183414e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.27282655183414e-05×40589641000000     		ar = 181875.950307672m²