Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24427 / 25580
↖ ↑ ↗
← S 70.539543°
E 88.363037°		 ← 407 m → S 70.539543°
E 88.374023°		 →
↑
406.98 m
↓
↑
406.98 m
↓
S 70.543203°
E 88.363037°		 ← 406.92 m →
165 624 m²		 S 70.543203°
E 88.374023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745468139648438 y=0.780654907226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745468139648438 × 215)
    floor (0.745468139648438 × 32768)
    floor (24427.5)     		tx = 24427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780654907226562 × 215)
    floor (0.780654907226562 × 32768)
    floor (25580.5)     		ty = 25580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24427 / 25580 ti = "15/24427/25580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24427/25580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24427 ÷ 215
    24427 ÷ 32768     		x = 0.745452880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25580 ÷ 215
    25580 ÷ 32768     		y = 0.7806396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745452880859375 × 2 - 1) × π
    0.49090576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54222593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7806396484375 × 2 - 1) × π
    -0.561279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76331091562415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54222593} λ = 1.54222593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76331091562415))-π/2
    2×atan(0.171476179747361)-π/2
    2×0.169824522761433-π/2
    0.339649045522865-1.57079632675     		φ = -1.23114728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54222593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.363037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23114728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.539543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24427 KachelY 25580 1.54222593 -1.23114728 88.363037 -70.539543
    Oben rechts KachelX + 1 24428 KachelY 25580 1.54241768 -1.23114728 88.374023 -70.539543
    Unten links KachelX 24427 KachelY + 1 25581 1.54222593 -1.23121116 88.363037 -70.543203
    Unten rechts KachelX + 1 24428 KachelY + 1 25581 1.54241768 -1.23121116 88.374023 -70.543203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23114728--1.23121116) × R
    6.38799999999051e-05 × 6371000     		dl = 406.979479999396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23114728--1.23121116) × R
    6.38799999999051e-05 × 6371000     		dr = 406.979479999396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54222593-1.54241768) × cos(-1.23114728) × R
    0.000191749999999935 × 0.333156208838619 × 6371000     		do = 406.996701098316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54222593-1.54241768) × cos(-1.23121116) × R
    0.000191749999999935 × 0.333095977518176 × 6371000     		du = 406.923120153184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23114728)-sin(-1.23121116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333156208838619-0.333095977518176)×R²
    abs(1.54241768-1.54222593)×6.02313204423055e-05×R²
    0.000191749999999935×6.02313204423055e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.02313204423055e-05×40589641000000     		ar = 165624.33286371m²