Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24426 / 40650
↖ ↑ ↗
← S 39.681826°
W 45.823974°		 ← 470.06 m → S 39.681826°
W 45.818481°		 →
↑
470.05 m
↓
↑
470.05 m
↓
S 39.686053°
W 45.823974°		 ← 470.03 m →
220 948 m²		 S 39.686053°
W 45.818481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372718811035156 y=0.620277404785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372718811035156 × 216)
    floor (0.372718811035156 × 65536)
    floor (24426.5)     		tx = 24426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620277404785156 × 216)
    floor (0.620277404785156 × 65536)
    floor (40650.5)     		ty = 40650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24426 / 40650 ti = "16/24426/40650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24426/40650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24426 ÷ 216
    24426 ÷ 65536     		x = 0.372711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40650 ÷ 216
    40650 ÷ 65536     		y = 0.620269775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.25457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79977923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620269775390625 × 2 - 1) × π
    -0.24053955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.755677285610565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79977923} λ = -0.79977923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.755677285610565))-π/2
    2×atan(0.469692391080682)-π/2
    2×0.439108904858949-π/2
    0.878217809717898-1.57079632675     		φ = -0.69257852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79977923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.823974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69257852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.681826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24426 KachelY 40650 -0.79977923 -0.69257852 -45.823974 -39.681826
    Oben rechts KachelX + 1 24427 KachelY 40650 -0.79968336 -0.69257852 -45.818481 -39.681826
    Unten links KachelX 24426 KachelY + 1 40651 -0.79977923 -0.69265230 -45.823974 -39.686053
    Unten rechts KachelX + 1 24427 KachelY + 1 40651 -0.79968336 -0.69265230 -45.818481 -39.686053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69257852--0.69265230) × R
    7.37800000000233e-05 × 6371000     		dl = 470.052380000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69257852--0.69265230) × R
    7.37800000000233e-05 × 6371000     		dr = 470.052380000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79977923--0.79968336) × cos(-0.69257852) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769602129045314 × 6371000     		do = 470.063568186829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79977923--0.79968336) × cos(-0.69265230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769555016669366 × 6371000     		du = 470.034792523785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69257852)-sin(-0.69265230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769602129045314-0.769555016669366)×R²
    abs(-0.79968336--0.79977923)×4.71123759480108e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71123759480108e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71123759480108e-05×40589641000000     		ar = 220947.736043528m²