Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24425 / 25289
↖ ↑ ↗
← S 69.445985°
E 88.341064°		 ← 428.91 m → S 69.445985°
E 88.352051°		 →
↑
428.90 m
↓
↑
428.90 m
↓
S 69.449842°
E 88.341064°		 ← 428.83 m →
183 939 m²		 S 69.449842°
E 88.352051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745407104492188 y=0.771774291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745407104492188 × 215)
    floor (0.745407104492188 × 32768)
    floor (24425.5)     		tx = 24425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771774291992188 × 215)
    floor (0.771774291992188 × 32768)
    floor (25289.5)     		ty = 25289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24425 / 25289 ti = "15/24425/25289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24425/25289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24425 ÷ 215
    24425 ÷ 32768     		x = 0.745391845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25289 ÷ 215
    25289 ÷ 32768     		y = 0.771759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745391845703125 × 2 - 1) × π
    0.49078369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54184244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771759033203125 × 2 - 1) × π
    -0.54351806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7075123644664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54184244} λ = 1.54184244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7075123644664))-π/2
    2×atan(0.181316280882643)-π/2
    2×0.179367616804848-π/2
    0.358735233609695-1.57079632675     		φ = -1.21206109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54184244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.341064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21206109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.445985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24425 KachelY 25289 1.54184244 -1.21206109 88.341064 -69.445985
    Oben rechts KachelX + 1 24426 KachelY 25289 1.54203419 -1.21206109 88.352051 -69.445985
    Unten links KachelX 24425 KachelY + 1 25290 1.54184244 -1.21212841 88.341064 -69.449842
    Unten rechts KachelX + 1 24426 KachelY + 1 25290 1.54203419 -1.21212841 88.352051 -69.449842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21206109--1.21212841) × R
    6.73200000000929e-05 × 6371000     		dl = 428.895720000592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21206109--1.21212841) × R
    6.73200000000929e-05 × 6371000     		dr = 428.895720000592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54184244-1.54203419) × cos(-1.21206109) × R
    0.000191750000000157 × 0.351090263970838 × 6371000     		do = 428.905646759988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54184244-1.54203419) × cos(-1.21212841) × R
    0.000191750000000157 × 0.35102722865756 × 6371000     		du = 428.828640347151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21206109)-sin(-1.21212841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351090263970838-0.35102722865756)×R²
    abs(1.54203419-1.54184244)×6.30353132776706e-05×R²
    0.000191750000000157×6.30353132776706e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.30353132776706e-05×40589641000000     		ar = 183939.282388303m²