Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24424 / 40648
↖ ↑ ↗
← S 39.673370°
W 45.834961°		 ← 470.12 m → S 39.673370°
W 45.829468°		 →
↑
470.12 m
↓
↑
470.12 m
↓
S 39.677598°
W 45.834961°		 ← 470.09 m →
221 005 m²		 S 39.677598°
W 45.829468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372688293457031 y=0.620246887207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372688293457031 × 216)
    floor (0.372688293457031 × 65536)
    floor (24424.5)     		tx = 24424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620246887207031 × 216)
    floor (0.620246887207031 × 65536)
    floor (40648.5)     		ty = 40648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24424 / 40648 ti = "16/24424/40648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24424/40648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24424 ÷ 216
    24424 ÷ 65536     		x = 0.3726806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40648 ÷ 216
    40648 ÷ 65536     		y = 0.6202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3726806640625 × 2 - 1) × π
    -0.254638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79997098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6202392578125 × 2 - 1) × π
    -0.240478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.755485538012085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79997098} λ = -0.79997098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.755485538012085))-π/2
    2×atan(0.469782462103871)-π/2
    2×0.439182694055987-π/2
    0.878365388111975-1.57079632675     		φ = -0.69243094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79997098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.834961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69243094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.673370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24424 KachelY 40648 -0.79997098 -0.69243094 -45.834961 -39.673370
    Oben rechts KachelX + 1 24425 KachelY 40648 -0.79987511 -0.69243094 -45.829468 -39.673370
    Unten links KachelX 24424 KachelY + 1 40649 -0.79997098 -0.69250473 -45.834961 -39.677598
    Unten rechts KachelX + 1 24425 KachelY + 1 40649 -0.79987511 -0.69250473 -45.829468 -39.677598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69243094--0.69250473) × R
    7.37899999999625e-05 × 6371000     		dl = 470.116089999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69243094--0.69250473) × R
    7.37899999999625e-05 × 6371000     		dr = 470.116089999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79997098--0.79987511) × cos(-0.69243094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769696353997196 × 6371000     		do = 470.121119635067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79997098--0.79987511) × cos(-0.69250473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769649243616611 × 6371000     		du = 470.092345190766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69243094)-sin(-0.69250473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769696353997196-0.769649243616611)×R²
    abs(-0.79987511--0.79997098)×4.71103805846917e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71103805846917e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71103805846917e-05×40589641000000     		ar = 221004.739024768m²