Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24424 / 25527
↖ ↑ ↗
← S 70.344622°
E 88.330078°		 ← 410.91 m → S 70.344622°
E 88.341064°		 →
↑
410.87 m
↓
↑
410.87 m
↓
S 70.348317°
E 88.330078°		 ← 410.84 m →
168 815 m²		 S 70.348317°
E 88.341064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745376586914062 y=0.779037475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745376586914062 × 215)
    floor (0.745376586914062 × 32768)
    floor (24424.5)     		tx = 24424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779037475585938 × 215)
    floor (0.779037475585938 × 32768)
    floor (25527.5)     		ty = 25527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24424 / 25527 ti = "15/24424/25527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24424/25527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24424 ÷ 215
    24424 ÷ 32768     		x = 0.745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25527 ÷ 215
    25527 ÷ 32768     		y = 0.779022216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745361328125 × 2 - 1) × π
    0.49072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54165069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779022216796875 × 2 - 1) × π
    -0.55804443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75314829290469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54165069} λ = 1.54165069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75314829290469))-π/2
    2×atan(0.173227712475985)-π/2
    2×0.171525526461601-π/2
    0.343051052923202-1.57079632675     		φ = -1.22774527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54165069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22774527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.344622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24424 KachelY 25527 1.54165069 -1.22774527 88.330078 -70.344622
    Oben rechts KachelX + 1 24425 KachelY 25527 1.54184244 -1.22774527 88.341064 -70.344622
    Unten links KachelX 24424 KachelY + 1 25528 1.54165069 -1.22780976 88.330078 -70.348317
    Unten rechts KachelX + 1 24425 KachelY + 1 25528 1.54184244 -1.22780976 88.341064 -70.348317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22774527--1.22780976) × R
    6.44899999999726e-05 × 6371000     		dl = 410.865789999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22774527--1.22780976) × R
    6.44899999999726e-05 × 6371000     		dr = 410.865789999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54165069-1.54184244) × cos(-1.22774527) × R
    0.000191749999999935 × 0.336361933500568 × 6371000     		do = 410.912940170044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54165069-1.54184244) × cos(-1.22780976) × R
    0.000191749999999935 × 0.336301200453459 × 6371000     		du = 410.838746295924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22774527)-sin(-1.22780976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336361933500568-0.336301200453459)×R²
    abs(1.54184244-1.54165069)×6.07330471090184e-05×R²
    0.000191749999999935×6.07330471090184e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.07330471090184e-05×40589641000000     		ar = 168814.827980357m²