Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24423 / 40671
↖ ↑ ↗
← S 39.770548°
W 45.840454°		 ← 469.46 m → S 39.770548°
W 45.834961°		 →
↑
469.48 m
↓
↑
469.48 m
↓
S 39.774770°
W 45.840454°		 ← 469.43 m →
220 394 m²		 S 39.774770°
W 45.834961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372673034667969 y=0.620597839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372673034667969 × 216)
    floor (0.372673034667969 × 65536)
    floor (24423.5)     		tx = 24423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620597839355469 × 216)
    floor (0.620597839355469 × 65536)
    floor (40671.5)     		ty = 40671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24423 / 40671 ti = "16/24423/40671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24423/40671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24423 ÷ 216
    24423 ÷ 65536     		x = 0.372665405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40671 ÷ 216
    40671 ÷ 65536     		y = 0.620590209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372665405273438 × 2 - 1) × π
    -0.254669189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80006685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620590209960938 × 2 - 1) × π
    -0.241180419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.757690635394608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80006685} λ = -0.80006685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.757690635394608))-π/2
    2×atan(0.468747687335194)-π/2
    2×0.438334663804422-π/2
    0.876669327608843-1.57079632675     		φ = -0.69412700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80006685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.840454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69412700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.770548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24423 KachelY 40671 -0.80006685 -0.69412700 -45.840454 -39.770548
    Oben rechts KachelX + 1 24424 KachelY 40671 -0.79997098 -0.69412700 -45.834961 -39.770548
    Unten links KachelX 24423 KachelY + 1 40672 -0.80006685 -0.69420069 -45.840454 -39.774770
    Unten rechts KachelX + 1 24424 KachelY + 1 40672 -0.79997098 -0.69420069 -45.834961 -39.774770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69412700--0.69420069) × R
    7.36899999999041e-05 × 6371000     		dl = 469.478989999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69412700--0.69420069) × R
    7.36899999999041e-05 × 6371000     		dr = 469.478989999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80006685--0.79997098) × cos(-0.69412700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.768612465531786 × 6371000     		do = 469.459093816351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80006685--0.79997098) × cos(-0.69420069) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.768565322869847 × 6371000     		du = 469.430299654993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69412700)-sin(-0.69420069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768612465531786-0.768565322869847)×R²
    abs(-0.79997098--0.80006685)×4.71426619391702e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71426619391702e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71426619391702e-05×40589641000000     		ar = 220394.422183741m²