Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24422 / 40655
↖ ↑ ↗
← S 39.702960°
W 45.845947°		 ← 469.97 m → S 39.702960°
W 45.840454°		 →
↑
469.92 m
↓
↑
469.92 m
↓
S 39.707186°
W 45.845947°		 ← 469.94 m →
220 843 m²		 S 39.707186°
W 45.840454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372657775878906 y=0.620353698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372657775878906 × 216)
    floor (0.372657775878906 × 65536)
    floor (24422.5)     		tx = 24422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620353698730469 × 216)
    floor (0.620353698730469 × 65536)
    floor (40655.5)     		ty = 40655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24422 / 40655 ti = "16/24422/40655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24422/40655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24422 ÷ 216
    24422 ÷ 65536     		x = 0.372650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40655 ÷ 216
    40655 ÷ 65536     		y = 0.620346069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.25469970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80016273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620346069335938 × 2 - 1) × π
    -0.240692138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.756156654606766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80016273} λ = -0.80016273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756156654606766))-π/2
    2×atan(0.46946728906842)-π/2
    2×0.438924471390568-π/2
    0.877848942781136-1.57079632675     		φ = -0.69294738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80016273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.845947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69294738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.702960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24422 KachelY 40655 -0.80016273 -0.69294738 -45.845947 -39.702960
    Oben rechts KachelX + 1 24423 KachelY 40655 -0.80006685 -0.69294738 -45.840454 -39.702960
    Unten links KachelX 24422 KachelY + 1 40656 -0.80016273 -0.69302114 -45.845947 -39.707186
    Unten rechts KachelX + 1 24423 KachelY + 1 40656 -0.80006685 -0.69302114 -45.840454 -39.707186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69294738--0.69302114) × R
    7.37600000000338e-05 × 6371000     		dl = 469.924960000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69294738--0.69302114) × R
    7.37600000000338e-05 × 6371000     		dr = 469.924960000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80016273--0.80006685) × cos(-0.69294738) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.769366550829804 × 6371000     		do = 469.968696237117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80016273--0.80006685) × cos(-0.69302114) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.769319430290659 × 6371000     		du = 469.939912586042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69294738)-sin(-0.69302114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769366550829804-0.769319430290659)×R²
    abs(-0.80006685--0.80016273)×4.7120539145129e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.7120539145129e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.7120539145129e-05×40589641000000     		ar = 220843.257802607m²