Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24420 / 40676
↖ ↑ ↗
← S 39.791655°
W 45.856934°		 ← 469.36 m → S 39.791655°
W 45.851440°		 →
↑
469.35 m
↓
↑
469.35 m
↓
S 39.795876°
W 45.856934°		 ← 469.34 m →
220 290 m²		 S 39.795876°
W 45.851440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372627258300781 y=0.620674133300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372627258300781 × 216)
    floor (0.372627258300781 × 65536)
    floor (24420.5)     		tx = 24420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620674133300781 × 216)
    floor (0.620674133300781 × 65536)
    floor (40676.5)     		ty = 40676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24420 / 40676 ti = "16/24420/40676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24420/40676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24420 ÷ 216
    24420 ÷ 65536     		x = 0.37261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40676 ÷ 216
    40676 ÷ 65536     		y = 0.62066650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.2547607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80035448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62066650390625 × 2 - 1) × π
    -0.2413330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.758170004390808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80035448} λ = -0.80035448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.758170004390808))-π/2
    2×atan(0.468523038076091)-π/2
    2×0.438150467559627-π/2
    0.876300935119253-1.57079632675     		φ = -0.69449539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80035448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.856934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69449539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.791655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24420 KachelY 40676 -0.80035448 -0.69449539 -45.856934 -39.791655
    Oben rechts KachelX + 1 24421 KachelY 40676 -0.80025860 -0.69449539 -45.851440 -39.791655
    Unten links KachelX 24420 KachelY + 1 40677 -0.80035448 -0.69456906 -45.856934 -39.795876
    Unten rechts KachelX + 1 24421 KachelY + 1 40677 -0.80025860 -0.69456906 -45.851440 -39.795876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69449539--0.69456906) × R
    7.36699999999146e-05 × 6371000     		dl = 469.351569999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69449539--0.69456906) × R
    7.36699999999146e-05 × 6371000     		dr = 469.351569999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80035448--0.80025860) × cos(-0.69449539) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.768376748889761 × 6371000     		do = 469.364074256591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80035448--0.80025860) × cos(-0.69456906) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.768329598167488 × 6371000     		du = 469.335272168108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69449539)-sin(-0.69456906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768376748889761-0.768329598167488)×R²
    abs(-0.80025860--0.80035448)×4.71507222724599e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.71507222724599e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.71507222724599e-05×40589641000000     		ar = 220290.006100869m²