Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24417 / 25318
↖ ↑ ↗
← S 69.557553°
E 88.253174°		 ← 426.68 m → S 69.557553°
E 88.264160°		 →
↑
426.60 m
↓
↑
426.60 m
↓
S 69.561390°
E 88.253174°		 ← 426.60 m →
182 005 m²		 S 69.561390°
E 88.264160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745162963867188 y=0.772659301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745162963867188 × 215)
    floor (0.745162963867188 × 32768)
    floor (24417.5)     		tx = 24417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772659301757812 × 215)
    floor (0.772659301757812 × 32768)
    floor (25318.5)     		ty = 25318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24417 / 25318 ti = "15/24417/25318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24417/25318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24417 ÷ 215
    24417 ÷ 32768     		x = 0.745147705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25318 ÷ 215
    25318 ÷ 32768     		y = 0.77264404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745147705078125 × 2 - 1) × π
    0.49029541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54030846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.5452880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71307304482233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54030846} λ = 1.54030846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71307304482233))-π/2
    2×atan(0.180310837067954)-π/2
    2×0.178394003916722-π/2
    0.356788007833444-1.57079632675     		φ = -1.21400832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54030846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.253174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21400832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.557553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24417 KachelY 25318 1.54030846 -1.21400832 88.253174 -69.557553
    Oben rechts KachelX + 1 24418 KachelY 25318 1.54050021 -1.21400832 88.264160 -69.557553
    Unten links KachelX 24417 KachelY + 1 25319 1.54030846 -1.21407528 88.253174 -69.561390
    Unten rechts KachelX + 1 24418 KachelY + 1 25319 1.54050021 -1.21407528 88.264160 -69.561390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21400832--1.21407528) × R
    6.69600000000603e-05 × 6371000     		dl = 426.602160000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21400832--1.21407528) × R
    6.69600000000603e-05 × 6371000     		dr = 426.602160000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54030846-1.54050021) × cos(-1.21400832) × R
    0.000191749999999935 × 0.349266327018167 × 6371000     		do = 426.677453788584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54030846-1.54050021) × cos(-1.21407528) × R
    0.000191749999999935 × 0.349203583141902 × 6371000     		du = 426.600803406642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21400832)-sin(-1.21407528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349266327018167-0.349203583141902)×R²
    abs(1.54050021-1.54030846)×6.27438762648147e-05×R²
    0.000191749999999935×6.27438762648147e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.27438762648147e-05×40589641000000     		ar = 182005.173868192m²