Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24414 / 40614
↖ ↑ ↗
← S 39.529466°
W 45.889893°		 ← 471.10 m → S 39.529466°
W 45.884400°		 →
↑
471.14 m
↓
↑
471.14 m
↓
S 39.533703°
W 45.889893°		 ← 471.07 m →
221 945 m²		 S 39.533703°
W 45.884400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372535705566406 y=0.619728088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372535705566406 × 216)
    floor (0.372535705566406 × 65536)
    floor (24414.5)     		tx = 24414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619728088378906 × 216)
    floor (0.619728088378906 × 65536)
    floor (40614.5)     		ty = 40614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24414 / 40614 ti = "16/24414/40614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24414/40614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24414 ÷ 216
    24414 ÷ 65536     		x = 0.372528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40614 ÷ 216
    40614 ÷ 65536     		y = 0.619720458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.25494384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.80092972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.23944091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.752225828837921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80092972} λ = -0.80092972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.752225828837921))-π/2
    2×atan(0.471316314904287)-π/2
    2×0.44043849209674-π/2
    0.880876984193479-1.57079632675     		φ = -0.68991934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80092972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.889893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68991934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.529466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24414 KachelY 40614 -0.80092972 -0.68991934 -45.889893 -39.529466
    Oben rechts KachelX + 1 24415 KachelY 40614 -0.80083385 -0.68991934 -45.884400 -39.529466
    Unten links KachelX 24414 KachelY + 1 40615 -0.80092972 -0.68999329 -45.889893 -39.533703
    Unten rechts KachelX + 1 24415 KachelY + 1 40615 -0.80083385 -0.68999329 -45.884400 -39.533703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68991934--0.68999329) × R
    7.39499999999893e-05 × 6371000     		dl = 471.135449999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68991934--0.68999329) × R
    7.39499999999893e-05 × 6371000     		dr = 471.135449999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80092972--0.80083385) × cos(-0.68991934) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.771297355577292 × 6371000     		do = 471.098991819941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80092972--0.80083385) × cos(-0.68999329) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.771250286144237 × 6371000     		du = 471.07024238589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68991934)-sin(-0.68999329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771297355577292-0.771250286144237)×R²
    abs(-0.80083385--0.80092972)×4.70694330549914e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70694330549914e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70694330549914e-05×40589641000000     		ar = 221944.663168086m²