Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24414 / 25305
↖ ↑ ↗
← S 69.507612°
E 88.220215°		 ← 427.65 m → S 69.507612°
E 88.231201°		 →
↑
427.62 m
↓
↑
427.62 m
↓
S 69.511457°
E 88.220215°		 ← 427.58 m →
182 857 m²		 S 69.511457°
E 88.231201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745071411132812 y=0.772262573242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745071411132812 × 215)
    floor (0.745071411132812 × 32768)
    floor (24414.5)     		tx = 24414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772262573242188 × 215)
    floor (0.772262573242188 × 32768)
    floor (25305.5)     		ty = 25305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24414 / 25305 ti = "15/24414/25305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24414/25305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24414 ÷ 215
    24414 ÷ 32768     		x = 0.74505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25305 ÷ 215
    25305 ÷ 32768     		y = 0.772247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74505615234375 × 2 - 1) × π
    0.4901123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.53973322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772247314453125 × 2 - 1) × π
    -0.54449462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71058032604208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53973322} λ = 1.53973322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71058032604208))-π/2
    2×atan(0.180760861937492)-π/2
    2×0.178829824011393-π/2
    0.357659648022787-1.57079632675     		φ = -1.21313668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53973322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.220215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21313668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.507612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24414 KachelY 25305 1.53973322 -1.21313668 88.220215 -69.507612
    Oben rechts KachelX + 1 24415 KachelY 25305 1.53992496 -1.21313668 88.231201 -69.507612
    Unten links KachelX 24414 KachelY + 1 25306 1.53973322 -1.21320380 88.220215 -69.511457
    Unten rechts KachelX + 1 24415 KachelY + 1 25306 1.53992496 -1.21320380 88.231201 -69.511457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21313668--1.21320380) × R
    6.71199999999761e-05 × 6371000     		dl = 427.621519999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21313668--1.21320380) × R
    6.71199999999761e-05 × 6371000     		dr = 427.621519999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53973322-1.53992496) × cos(-1.21313668) × R
    0.000191739999999996 × 0.350082941396514 × 6371000     		do = 427.652758181226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53973322-1.53992496) × cos(-1.21320380) × R
    0.000191739999999996 × 0.350020068048437 × 6371000     		du = 427.575953637097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21313668)-sin(-1.21320380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350082941396514-0.350020068048437)×R²
    abs(1.53992496-1.53973322)×6.2873348076864e-05×R²
    0.000191739999999996×6.2873348076864e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.2873348076864e-05×40589641000000     		ar = 182857.100916017m²