Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24413 / 40669
↖ ↑ ↗
← S 39.762103°
W 45.895386°		 ← 469.52 m → S 39.762103°
W 45.889893°		 →
↑
469.54 m
↓
↑
469.54 m
↓
S 39.766325°
W 45.895386°		 ← 469.49 m →
220 451 m²		 S 39.766325°
W 45.889893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372520446777344 y=0.620567321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372520446777344 × 216)
    floor (0.372520446777344 × 65536)
    floor (24413.5)     		tx = 24413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620567321777344 × 216)
    floor (0.620567321777344 × 65536)
    floor (40669.5)     		ty = 40669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24413 / 40669 ti = "16/24413/40669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24413/40669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24413 ÷ 216
    24413 ÷ 65536     		x = 0.372512817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40669 ÷ 216
    40669 ÷ 65536     		y = 0.620559692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372512817382812 × 2 - 1) × π
    -0.254974365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80102559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620559692382812 × 2 - 1) × π
    -0.241119384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.757498887796127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80102559} λ = -0.80102559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.757498887796127))-π/2
    2×atan(0.46883757719634)-π/2
    2×0.438408358121137-π/2
    0.876816716242274-1.57079632675     		φ = -0.69397961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80102559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.895386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69397961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.762103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24413 KachelY 40669 -0.80102559 -0.69397961 -45.895386 -39.762103
    Oben rechts KachelX + 1 24414 KachelY 40669 -0.80092972 -0.69397961 -45.889893 -39.762103
    Unten links KachelX 24413 KachelY + 1 40670 -0.80102559 -0.69405331 -45.895386 -39.766325
    Unten rechts KachelX + 1 24414 KachelY + 1 40670 -0.80092972 -0.69405331 -45.889893 -39.766325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69397961--0.69405331) × R
    7.37000000000654e-05 × 6371000     		dl = 469.542700000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69397961--0.69405331) × R
    7.37000000000654e-05 × 6371000     		dr = 469.542700000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80102559--0.80092972) × cos(-0.69397961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.768706744730227 × 6371000     		do = 469.516678397724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80102559--0.80092972) × cos(-0.69405331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.768659604019993 × 6371000     		du = 469.487885428444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69397961)-sin(-0.69405331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768706744730227-0.768659604019993)×R²
    abs(-0.80092972--0.80102559)×4.71407102337063e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71407102337063e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71407102337063e-05×40589641000000     		ar = 220451.369205737m²