Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24413 / 25311
↖ ↑ ↗
← S 69.530676°
E 88.209229°		 ← 427.21 m → S 69.530676°
E 88.220215°		 →
↑
427.18 m
↓
↑
427.18 m
↓
S 69.534518°
E 88.209229°		 ← 427.14 m →
182 479 m²		 S 69.534518°
E 88.220215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745040893554688 y=0.772445678710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745040893554688 × 215)
    floor (0.745040893554688 × 32768)
    floor (24413.5)     		tx = 24413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772445678710938 × 215)
    floor (0.772445678710938 × 32768)
    floor (25311.5)     		ty = 25311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24413 / 25311 ti = "15/24413/25311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24413/25311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24413 ÷ 215
    24413 ÷ 32768     		x = 0.745025634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25311 ÷ 215
    25311 ÷ 32768     		y = 0.772430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.745025634765625 × 2 - 1) × π
    0.49005126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.53954147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.54486083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71173081163297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53954147} λ = 1.53954147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71173081163297))-π/2
    2×atan(0.180553018753657)-π/2
    2×0.178628549800541-π/2
    0.357257099601082-1.57079632675     		φ = -1.21353923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53954147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.209229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21353923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.530676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24413 KachelY 25311 1.53954147 -1.21353923 88.209229 -69.530676
    Oben rechts KachelX + 1 24414 KachelY 25311 1.53973322 -1.21353923 88.220215 -69.530676
    Unten links KachelX 24413 KachelY + 1 25312 1.53954147 -1.21360628 88.209229 -69.534518
    Unten rechts KachelX + 1 24414 KachelY + 1 25312 1.53973322 -1.21360628 88.220215 -69.534518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21353923--1.21360628) × R
    6.70499999999574e-05 × 6371000     		dl = 427.175549999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21353923--1.21360628) × R
    6.70499999999574e-05 × 6371000     		dr = 427.175549999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53954147-1.53973322) × cos(-1.21353923) × R
    0.000191749999999935 × 0.349705836926746 × 6371000     		do = 427.214376343668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53954147-1.53973322) × cos(-1.21360628) × R
    0.000191749999999935 × 0.349643019707478 × 6371000     		du = 427.137636363034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21353923)-sin(-1.21360628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349705836926746-0.349643019707478)×R²
    abs(1.53973322-1.53954147)×6.28172192676524e-05×R²
    0.000191749999999935×6.28172192676524e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.28172192676524e-05×40589641000000     		ar = 182479.145529164m²