Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24412 / 40636
↖ ↑ ↗
← S 39.622615°
W 45.900879°		 ← 470.52 m → S 39.622615°
W 45.895386°		 →
↑
470.43 m
↓
↑
470.43 m
↓
S 39.626846°
W 45.900879°		 ← 470.49 m →
221 340 m²		 S 39.626846°
W 45.895386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372505187988281 y=0.620063781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372505187988281 × 216)
    floor (0.372505187988281 × 65536)
    floor (24412.5)     		tx = 24412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620063781738281 × 216)
    floor (0.620063781738281 × 65536)
    floor (40636.5)     		ty = 40636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24412 / 40636 ti = "16/24412/40636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24412/40636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24412 ÷ 216
    24412 ÷ 65536     		x = 0.37249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40636 ÷ 216
    40636 ÷ 65536     		y = 0.62005615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37249755859375 × 2 - 1) × π
    -0.2550048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80112147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62005615234375 × 2 - 1) × π
    -0.2401123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.754335052421204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80112147} λ = -0.80112147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754335052421204))-π/2
    2×atan(0.470323251082685)-π/2
    2×0.439625618921075-π/2
    0.87925123784215-1.57079632675     		φ = -0.69154509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80112147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.900879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69154509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.622615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24412 KachelY 40636 -0.80112147 -0.69154509 -45.900879 -39.622615
    Oben rechts KachelX + 1 24413 KachelY 40636 -0.80102559 -0.69154509 -45.895386 -39.622615
    Unten links KachelX 24412 KachelY + 1 40637 -0.80112147 -0.69161893 -45.900879 -39.626846
    Unten rechts KachelX + 1 24413 KachelY + 1 40637 -0.80102559 -0.69161893 -45.895386 -39.626846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69154509--0.69161893) × R
    7.38399999999917e-05 × 6371000     		dl = 470.434639999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69154509--0.69161893) × R
    7.38399999999917e-05 × 6371000     		dr = 470.434639999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80112147--0.80102559) × cos(-0.69154509) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.770261587554728 × 6371000     		do = 470.515430745191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80112147--0.80102559) × cos(-0.69161893) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.770214495614478 × 6371000     		du = 470.486664563793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69154509)-sin(-0.69161893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770261587554728-0.770214495614478)×R²
    abs(-0.80102559--0.80112147)×4.70919402499881e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.70919402499881e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.70919402499881e-05×40589641000000     		ar = 221339.991073353m²