Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24412 / 25306
↖ ↑ ↗
← S 69.511457°
E 88.198242°		 ← 427.60 m → S 69.511457°
E 88.209229°		 →
↑
427.56 m
↓
↑
427.56 m
↓
S 69.515303°
E 88.198242°		 ← 427.52 m →
182 807 m²		 S 69.515303°
E 88.209229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.745010375976562 y=0.772293090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.745010375976562 × 215)
    floor (0.745010375976562 × 32768)
    floor (24412.5)     		tx = 24412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772293090820312 × 215)
    floor (0.772293090820312 × 32768)
    floor (25306.5)     		ty = 25306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24412 / 25306 ti = "15/24412/25306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24412/25306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24412 ÷ 215
    24412 ÷ 32768     		x = 0.7449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25306 ÷ 215
    25306 ÷ 32768     		y = 0.77227783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7449951171875 × 2 - 1) × π
    0.489990234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.53934972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.5445556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71077207364056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53934972} λ = 1.53934972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71077207364056))-π/2
    2×atan(0.180726204799134)-π/2
    2×0.178796263243742-π/2
    0.357592526487485-1.57079632675     		φ = -1.21320380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53934972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.198242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21320380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.511457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24412 KachelY 25306 1.53934972 -1.21320380 88.198242 -69.511457
    Oben rechts KachelX + 1 24413 KachelY 25306 1.53954147 -1.21320380 88.209229 -69.511457
    Unten links KachelX 24412 KachelY + 1 25307 1.53934972 -1.21327091 88.198242 -69.515303
    Unten rechts KachelX + 1 24413 KachelY + 1 25307 1.53954147 -1.21327091 88.209229 -69.515303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21320380--1.21327091) × R
    6.71100000000369e-05 × 6371000     		dl = 427.557810000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21320380--1.21327091) × R
    6.71100000000369e-05 × 6371000     		dr = 427.557810000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53934972-1.53954147) × cos(-1.21320380) × R
    0.000191750000000157 × 0.350020068048437 × 6371000     		do = 427.598253415992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53934972-1.53954147) × cos(-1.21327091) × R
    0.000191750000000157 × 0.349957202491144 × 6371000     		du = 427.52145438373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21320380)-sin(-1.21327091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350020068048437-0.349957202491144)×R²
    abs(1.53954147-1.53934972)×6.28655572934567e-05×R²
    0.000191750000000157×6.28655572934567e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.28655572934567e-05×40589641000000     		ar = 182806.554845775m²