Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24410 / 40654
↖ ↑ ↗
← S 39.698734°
W 45.911865°		 ← 469.95 m → S 39.698734°
W 45.906372°		 →
↑
469.92 m
↓
↑
469.92 m
↓
S 39.702960°
W 45.911865°		 ← 469.92 m →
220 834 m²		 S 39.702960°
W 45.906372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372474670410156 y=0.620338439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372474670410156 × 216)
    floor (0.372474670410156 × 65536)
    floor (24410.5)     		tx = 24410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620338439941406 × 216)
    floor (0.620338439941406 × 65536)
    floor (40654.5)     		ty = 40654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24410 / 40654 ti = "16/24410/40654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24410/40654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24410 ÷ 216
    24410 ÷ 65536     		x = 0.372467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40654 ÷ 216
    40654 ÷ 65536     		y = 0.620330810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.25506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80131321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620330810546875 × 2 - 1) × π
    -0.24066162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.756060780807526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80131321} λ = -0.80131321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756060780807526))-π/2
    2×atan(0.469512300838732)-π/2
    2×0.438961353566941-π/2
    0.877922707133882-1.57079632675     		φ = -0.69287362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80131321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.911865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69287362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.698734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24410 KachelY 40654 -0.80131321 -0.69287362 -45.911865 -39.698734
    Oben rechts KachelX + 1 24411 KachelY 40654 -0.80121734 -0.69287362 -45.906372 -39.698734
    Unten links KachelX 24410 KachelY + 1 40655 -0.80131321 -0.69294738 -45.911865 -39.702960
    Unten rechts KachelX + 1 24411 KachelY + 1 40655 -0.80121734 -0.69294738 -45.906372 -39.702960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69287362--0.69294738) × R
    7.37600000000338e-05 × 6371000     		dl = 469.924960000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69287362--0.69294738) × R
    7.37600000000338e-05 × 6371000     		dr = 469.924960000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80131321--0.80121734) × cos(-0.69287362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769413667183181 × 6371000     		do = 469.948457986327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80131321--0.80121734) × cos(-0.69294738) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769366550829804 × 6371000     		du = 469.919679893917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69287362)-sin(-0.69294738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769413667183181-0.769366550829804)×R²
    abs(-0.80121734--0.80131321)×4.71163533775076e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71163533775076e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71163533775076e-05×40589641000000     		ar = 220833.748649886m²