Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24409 / 40663
↖ ↑ ↗
← S 39.736763°
W 45.917359°		 ← 469.74 m → S 39.736763°
W 45.911865°		 →
↑
469.67 m
↓
↑
469.67 m
↓
S 39.740986°
W 45.917359°		 ← 469.71 m →
220 615 m²		 S 39.740986°
W 45.911865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372459411621094 y=0.620475769042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372459411621094 × 216)
    floor (0.372459411621094 × 65536)
    floor (24409.5)     		tx = 24409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620475769042969 × 216)
    floor (0.620475769042969 × 65536)
    floor (40663.5)     		ty = 40663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24409 / 40663 ti = "16/24409/40663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24409/40663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24409 ÷ 216
    24409 ÷ 65536     		x = 0.372451782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40663 ÷ 216
    40663 ÷ 65536     		y = 0.620468139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372451782226562 × 2 - 1) × π
    -0.255096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.80140909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620468139648438 × 2 - 1) × π
    -0.240936279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.756923645000687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80140909} λ = -0.80140909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756923645000687))-π/2
    2×atan(0.469107350219909)-π/2
    2×0.438629495300759-π/2
    0.877258990601518-1.57079632675     		φ = -0.69353734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80140909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.917359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69353734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.736763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24409 KachelY 40663 -0.80140909 -0.69353734 -45.917359 -39.736763
    Oben rechts KachelX + 1 24410 KachelY 40663 -0.80131321 -0.69353734 -45.911865 -39.736763
    Unten links KachelX 24409 KachelY + 1 40664 -0.80140909 -0.69361106 -45.917359 -39.740986
    Unten rechts KachelX + 1 24410 KachelY + 1 40664 -0.80131321 -0.69361106 -45.911865 -39.740986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69353734--0.69361106) × R
    7.37199999999438e-05 × 6371000     		dl = 469.670119999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69353734--0.69361106) × R
    7.37199999999438e-05 × 6371000     		dr = 469.670119999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80140909--0.80131321) × cos(-0.69353734) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.768989546048054 × 6371000     		do = 469.738402308218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80140909--0.80131321) × cos(-0.69361106) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.768942417611527 × 6371000     		du = 469.709613833015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69353734)-sin(-0.69361106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768989546048054-0.768942417611527)×R²
    abs(-0.80131321--0.80140909)×4.71284365267666e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.71284365267666e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.71284365267666e-05×40589641000000     		ar = 220615.33133732m²