Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24407 / 40891
↖ ↑ ↗
← S 40.693134°
W 45.928345°		 ← 463.16 m → S 40.693134°
W 45.922851°		 →
↑
463.11 m
↓
↑
463.11 m
↓
S 40.697299°
W 45.928345°		 ← 463.13 m →
214 484 m²		 S 40.697299°
W 45.922851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372428894042969 y=0.623954772949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372428894042969 × 216)
    floor (0.372428894042969 × 65536)
    floor (24407.5)     		tx = 24407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623954772949219 × 216)
    floor (0.623954772949219 × 65536)
    floor (40891.5)     		ty = 40891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24407 / 40891 ti = "16/24407/40891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24407/40891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24407 ÷ 216
    24407 ÷ 65536     		x = 0.372421264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40891 ÷ 216
    40891 ÷ 65536     		y = 0.623947143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372421264648438 × 2 - 1) × π
    -0.255157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80160084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623947143554688 × 2 - 1) × π
    -0.247894287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.778782871227432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80160084} λ = -0.80160084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.778782871227432))-π/2
    2×atan(0.458964290130792)-π/2
    2×0.430283576440396-π/2
    0.860567152880793-1.57079632675     		φ = -0.71022917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80160084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.928345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71022917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.693134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24407 KachelY 40891 -0.80160084 -0.71022917 -45.928345 -40.693134
    Oben rechts KachelX + 1 24408 KachelY 40891 -0.80150496 -0.71022917 -45.922851 -40.693134
    Unten links KachelX 24407 KachelY + 1 40892 -0.80160084 -0.71030186 -45.928345 -40.697299
    Unten rechts KachelX + 1 24408 KachelY + 1 40892 -0.80150496 -0.71030186 -45.922851 -40.697299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71022917--0.71030186) × R
    7.26899999999864e-05 × 6371000     		dl = 463.107989999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71022917--0.71030186) × R
    7.26899999999864e-05 × 6371000     		dr = 463.107989999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80160084--0.80150496) × cos(-0.71022917) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.758212475332349 × 6371000     		do = 463.155212710925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80160084--0.80150496) × cos(-0.71030186) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.758165078900614 × 6371000     		du = 463.126260530453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71022917)-sin(-0.71030186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758212475332349-0.758165078900614)×R²
    abs(-0.80150496--0.80160084)×4.7396431735347e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.7396431735347e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.7396431735347e-05×40589641000000     		ar = 214484.175717715m²