Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24406 / 25303
↖ ↑ ↗
← S 69.499918°
E 88.132325°		 ← 427.81 m → S 69.499918°
E 88.143310°		 →
↑
427.81 m
↓
↑
427.81 m
↓
S 69.503765°
E 88.132325°		 ← 427.73 m →
183 005 m²		 S 69.503765°
E 88.143310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744827270507812 y=0.772201538085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744827270507812 × 215)
    floor (0.744827270507812 × 32768)
    floor (24406.5)     		tx = 24406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772201538085938 × 215)
    floor (0.772201538085938 × 32768)
    floor (25303.5)     		ty = 25303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24406 / 25303 ti = "15/24406/25303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24406/25303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24406 ÷ 215
    24406 ÷ 32768     		x = 0.74481201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25303 ÷ 215
    25303 ÷ 32768     		y = 0.772186279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74481201171875 × 2 - 1) × π
    0.4896240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.53819924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772186279296875 × 2 - 1) × π
    -0.54437255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71019683084512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.53819924} λ = 1.53819924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71019683084512))-π/2
    2×atan(0.180830196153663)-π/2
    2×0.178896963633159-π/2
    0.357793927266317-1.57079632675     		φ = -1.21300240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.53819924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.132325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21300240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.499918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24406 KachelY 25303 1.53819924 -1.21300240 88.132325 -69.499918
    Oben rechts KachelX + 1 24407 KachelY 25303 1.53839098 -1.21300240 88.143310 -69.499918
    Unten links KachelX 24406 KachelY + 1 25304 1.53819924 -1.21306955 88.132325 -69.503765
    Unten rechts KachelX + 1 24407 KachelY + 1 25304 1.53839098 -1.21306955 88.143310 -69.503765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21300240--1.21306955) × R
    6.71500000000158e-05 × 6371000     		dl = 427.812650000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21300240--1.21306955) × R
    6.71500000000158e-05 × 6371000     		dr = 427.812650000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.53819924-1.53839098) × cos(-1.21300240) × R
    0.000191739999999996 × 0.350208720827783 × 6371000     		do = 427.806407257899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.53819924-1.53839098) × cos(-1.21306955) × R
    0.000191739999999996 × 0.350145822534387 × 6371000     		du = 427.729572241178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21300240)-sin(-1.21306955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350208720827783-0.350145822534387)×R²
    abs(1.53839098-1.53819924)×6.28982933960631e-05×R²
    0.000191739999999996×6.28982933960631e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.28982933960631e-05×40589641000000     		ar = 183004.557348654m²