Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24405 / 40661
↖ ↑ ↗
← S 39.728314°
W 45.939331°		 ← 469.75 m → S 39.728314°
W 45.933838°		 →
↑
469.73 m
↓
↑
469.73 m
↓
S 39.732538°
W 45.939331°		 ← 469.72 m →
220 649 m²		 S 39.732538°
W 45.933838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372398376464844 y=0.620445251464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372398376464844 × 216)
    floor (0.372398376464844 × 65536)
    floor (24405.5)     		tx = 24405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620445251464844 × 216)
    floor (0.620445251464844 × 65536)
    floor (40661.5)     		ty = 40661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24405 / 40661 ti = "16/24405/40661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24405/40661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24405 ÷ 216
    24405 ÷ 65536     		x = 0.372390747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40661 ÷ 216
    40661 ÷ 65536     		y = 0.620437622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372390747070312 × 2 - 1) × π
    -0.255218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80179258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620437622070312 × 2 - 1) × π
    -0.240875244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.756731897402206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80179258} λ = -0.80179258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756731897402206))-π/2
    2×atan(0.469197309052163)-π/2
    2×0.438703225768812-π/2
    0.877406451537624-1.57079632675     		φ = -0.69338988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80179258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.939331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69338988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.728314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24405 KachelY 40661 -0.80179258 -0.69338988 -45.939331 -39.728314
    Oben rechts KachelX + 1 24406 KachelY 40661 -0.80169671 -0.69338988 -45.933838 -39.728314
    Unten links KachelX 24405 KachelY + 1 40662 -0.80179258 -0.69346361 -45.939331 -39.732538
    Unten rechts KachelX + 1 24406 KachelY + 1 40662 -0.80169671 -0.69346361 -45.933838 -39.732538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69338988--0.69346361) × R
    7.37299999999941e-05 × 6371000     		dl = 469.733829999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69338988--0.69346361) × R
    7.37299999999941e-05 × 6371000     		dr = 469.733829999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80179258--0.80169671) × cos(-0.69338988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.76908380316627 × 6371000     		do = 469.746981079035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80179258--0.80169671) × cos(-0.69346361) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769036676697447 × 6371000     		du = 469.718196808234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69338988)-sin(-0.69346361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76908380316627-0.769036676697447)×R²
    abs(-0.80169671--0.80179258)×4.71264688230999e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71264688230999e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71264688230999e-05×40589641000000     		ar = 220649.288180525m²